Um octaedro
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 185 Ex. 45
Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um octaedro [ABCDEF].
Sabe-se que:
- O vértice B tem coordenadas (1,0,1).
- O vértice E tem coordenadas (0,1,1).
- O vértice F pertence ao plano xOy.
- O vértice A tem coordenadas (1,1,2).
- Mostre que a reta definida pela condição $x=y=z$ é perpendicular ao plano ACD.
- Determine uma equação da superfície esférica que contém os seis vértices do octaedro.
- Seja $\alpha $ o plano definido pelo eixo Oz e pelo ponto A.
A secção produzida no octaedro pelo plano $\alpha $ é um quadrilátero. Caracterize esse quadrilátero e determine o seu perímetro.
Como $x=y=z\Leftrightarrow \frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-0}{1}$, então o vetor $\vec{r}\,(1,1,1)$ é diretor da reta dada.
Ora, $A\,(1,1,2)$, $C\,(2,1,1)$ e $D\,(1,2,1)$.
Logo, $\overrightarrow{AC}=(1,0,-1)$ e $\overrightarrow{AD}=(0,1,-1)$.Vejamos se o vetor $\vec{r}$ é perpendicular aos vetores $\overrightarrow{AC}$ e $\overrightarrow{AD}$:
$\vec{r}.\overrightarrow{AC}=(1,1,1).(1,0,-1)=1+0-1=0$
$\vec{r}.\overrightarrow{AD}=(1,1,1).(0,1,-1)=0+1-1=0$Como o vetor $\vec{r}$ é perpendicular aos vetores $\overrightarrow{AC}$ e $\overrightarrow{AD}$, então a reta dada é perpendicular ao plano ACD, pois é perpendicular a duas retas concorrentes (AC e AD) desse plano.
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O centro dessa superfície esférica é o ponto $G\,(1,1,1)$ e o raio é $r=\overline{GA}=1$.
Logo, uma equação dessa superfície esférica é ${{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=1$.
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Esse quadrilátero é [AHFIA], de diagonais [AF] e [HI], sendo H e I os pontos médios dos segmentos [CD] e [BE], respetivamente.
Os lados desse quadrilátero são iguais e as diagonais são perpendiculares, mas com comprimentos diferentes. (Note que $\overline{AF}=2$ e $\overline{HI}=\overline{BC}=\sqrt{2}$)
Logo, trata-se de um losango.O ponto médio do segmento [CD] é $H\,(\frac{2+1}{2},\frac{1+2}{2},\frac{1+1}{2})=(\frac{3}{2},\frac{3}{2},1)$.
Portanto, o perímetro desse losango é: \[P = 4 \times \overline {AH} = 4 \times \sqrt {{{(1 – \frac{3}{2})}^2} + {{(1 – \frac{3}{2})}^2} + {{(2 – 1)}^2}} = 4 \times \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = 4\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 6 \]
