Category: 11.º Ano

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Um objeto move-se ao longo de uma reta e a sua distância, em centímetros, a um ponto de referência fixo é dada em função do tempo t, em segundos, por \[\begin{matrix}
d\,(t)=2\,t+\frac{8}{t+1} & (t\ge 0)  \\
\end{matrix}\]

Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, resolva as três alíneas seguintes.

1. Determine o período de tempo durante o qual o objeto distou do ponto de referência 15 cm ou menos.
2. Prove que a taxa média de variação de d no intervalo

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A densidade populacional (número de habitantes por unidade de área) de muitas cidades depende, grosseiramente, da distância ao centro da cidade.

Para uma determinada cidade, a densidade populacional P, em milhares de pessoas por km², à distância de r quilómetros do centro, é dada, aproximadamente, por: \[P=5+30r-15{{r}^{2}}\]

1. Qual é a densidade populacional no centro da cidade?
2. Para que valores de r deixa definitivamente de ter significado a expressão dada?
3. Encontre $\frac{dP}{dr}$ e calcule a taxa

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Uma folha retangular de metal com 20 cm de largura vai ser dobrada para se fabricarem caleiras, como mostra a figura.

Por onde devem ser feitas as dobragens para que a caleira transporte a maior quantidade possível de água?

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Considere a função quadrática definida por $g(x)=3{{x}^{2}}+6x+5$.

1. Resolva a equação $g'(x)=0$, determine as coordenadas do vértice da parábola gráfico de g e apresente um esboço desse gráfico.
2. Use o gráfico construído em 1 para mostrar que a função polinomial $h:x\to {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+5x+7$ não tem extremos e, em seguida, esboce o gráfico de h.

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Lançou-se um foguete de fabrico artesanal. Devido a um defeito de fabrico, o foguete começa a perder altura, mas, em seguida, recupera e sobe de novo. A altura a (em metros) a que se encontra é dada, em função do tempo t decorrido (em segundos) após o seu lançamento, por: \[\begin{matrix}
a(t)={{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+24t & (0\le t\le 7)  \\
\end{matrix}\]

1. Compare os valores da velocidade média nos intervalos [2, 5] e [2, 4]. A que se deverá tal discrepância?