Partes dos gráficos de duas funções e um quadrado
Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 121 Ex. 4
Enunciado
No referencial cartesiano da figura,estão representadas partes dos gráficos de duas funções, f e g, e um quadrado [OABC].
Sabe-se que:
- o ponto O é a origem do referencial;
- a função f é definida por \(f\left( x \right) = \frac{{10}}{x}\), com \(x > 0\);
- o gráfico da função g é uma reta que passa na origem do referencial;
- o ponto A pertence ao eixo das abcissas;
- o ponto C pertence ao eixo das ordenadas;
- o ponto B pertence ao gráfico da função f;
- o ponto P pertence ao gráfico da função f e ao gráfico da função g e tem abcissa 5.
- Em qual das opções seguintes estão as coordenadas de um ponto que pertence ao gráfico da função f?
[A] \(\left( {50,\;2} \right)\) [B] \(\left( {20,\;2} \right)\) [C] \(\left( {50,\;\frac{1}{2}} \right)\) [D] \(\left( {20,\;\frac{1}{2}} \right)\) - Define a função g por uma expressão algébrica.
Apresenta todos os cálculos que efetuares. - Qual é a medida exata do comprimento do lado do quadrado [OABC]?
Resolução
No referencial cartesiano da figura, estão representadas partes dos gráficos de duas funções, f e g, e um quadrado [OABC].
Sabe-se que:
-
o ponto O é a origem do referencial;
-
a função f é definida por \(f\left( x \right) = \frac{{10}}{x}\), com \(x > 0\);
-
o gráfico da função g é uma reta que passa na origem do referencial;
-
o ponto A pertence ao eixo das abcissas;
-
o ponto C pertence ao eixo das ordenadas;
-
o ponto B pertence ao gráfico da função f;
-
o ponto P pertence ao gráfico da função f e ao gráfico da função g e tem abcissa 5.
- Como a função f é de proporcionalidade inversa com constante de proporcionalidade 10, então o produto das coordenadas dos pontos do seu gráfico terá de ser exatamente o valor dessa constante.
Por isso, a alternativa correta é a [D].
- Comecemos por determinar a ordenada do ponto P: \({y_P} = f\left( 5 \right) = \frac{{10}}{5} = 2\).
O declive da reta OP é \({m_{OP}} = \frac{{2 – 0}}{{5 – 0}} = \frac{2}{5}\) e a ordenada na origem é nula.
Logo, a função g pode ser definida pela expressão algébrica \(g\left( x \right) = \frac{2}{5}x\).
- Designado por a, positivo, a medida do comprimento do lado do quadrado, o ponto B terá de coordenadas \(\left( {a,\;a} \right)\). Como o ponto B é um ponto do gráfico da função f, então as coordenadas de B têm de verificar a expressão algébrica de f:\[\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{10}}{a}}& \wedge &{a > 0}\end{array}}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 10}& \wedge &{a > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{a = – \sqrt {10} }& \vee &{a = \sqrt {10} }\end{array}} \right)}& \wedge &{a > 0}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{a = \sqrt {10} }\end{array}\]
