Como resultado de uma pesquisa de mercado
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 198 Ex. 50
Enunciado
Como resultado de uma pesquisa de mercado, o diretor de uma empresa verificou que a procura dos seus produtos era dada, aproximadamente, por uma função linear de equação \[v=30-2p\] em que v representa a procura, ou seja, o número de artigos (em milhões) que serão vendidos ao preço de p euros.
Se forem vendidos v artigos ao preço de p euros, então o rendimento r da empresa (em milhões de euros) será dado por: \[r=vp=(30-2p)p=30p-2{{p}^{2}}\]
- Encontre $\frac{dr}{dp}$ e explique o que significa.
- Calcule $\frac{dr}{dp}$ para $p=5$ e para $p=10$.
- Para que preços, p, de venda é o rendimento crescente?
- Qual é o melhor preço?
- Qual é a taxa de variação para esse preço.
Resolução
- Ora, $\frac{dr}{dp}=(30p-2{{p}^{2}})’=30-4p$ e traduz a taxa de variação do rendimento em função de preço do produto.
- Ora, ${{\left( \frac{dr}{dp} \right)}_{p=5}}=30-4\times 5=10$ e ${{\left( \frac{dr}{dp} \right)}_{p=10}}=30-4\times 10=-10$.
- Ora, $\frac{dr}{dp}=0\Leftrightarrow 30-4p=0\Leftrightarrow p=7,5$.
O rendimento é crescente para preços de venda entre 0 e 7, 5 euros, pois $\frac{dr}{dp}>0,\,\forall p\in \left] 0;7,5 \right[$.
- O melhor preço é 7,5 euros, pois esse valor maximiza o rendimento.
- Para esse preço, a taxa de variação do rendimento é nula.
