Do terraço de um prédio lançou-se uma bola
Derivadas: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 194 Ex. 37
Enunciado
Do terraço de um prédio lançou-se uma bola para cima. A altura a (em decâmetros), a que a bola se encontra da rua, é dada em função do tempo (em segundos) pela expressão:
\[a(t)=-0,5{{t}^{2}}+4t+4,5\]
- Qual é a altura do terraço?
- Qual o intervalo de tempo em que a bola está acima dos 120 metros?
- Compare os valores da velocidade média nos intervalos [0, 2] e [2, 3]. Que conclui?
- Qual é a altura máxima que a bola atinge? Em que instante atinge esse valor?
- Ao fim de quanto tempo cai a bola na rua? Qual é o valor da velocidade nesse instante?
Resolução
- Como $a(0)=-0,5\times {{0}^{2}}+4\times 0+4,5=4,5$, o terraço tem 45 metros de altura.
- Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
a(t)>12 & \Leftrightarrow & -0,5{{t}^{2}}+4t+4,5>12 \\
{} & \Leftrightarrow & -0,5{{t}^{2}}+4t-7,5>0 \\
{} & \Leftrightarrow & -0,5(t-3)(t-5)>0 \\
{} & \Leftrightarrow & t\in \left] 3,5 \right[ \\
\end{array}\]Cálculos auxiliares:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
-0,5{{t}^{2}}+4t-7,5=0 & \Leftrightarrow & t=\frac{-4\mp \sqrt{16-15}}{-1} \\
{} & \Leftrightarrow & t=3\vee t=5 \\
\end{array}\]A bola está acima dos 120 metros entre os 3 e 5 segundos após o seu lançamento.
- Ora,
\[tm{{v}_{\left[ 0,2 \right]}}=\frac{(-0,5\times {{2}^{2}}+4\times 2+4,5)-(-0,5\times {{0}^{2}}+4\times 0+4,5)}{2-0}=\frac{6}{2}=3\]\[tm{{v}_{\left[ 2,3 \right]}}=\frac{(-0,5\times {{3}^{2}}+4\times 3+4,5)-(-0,5\times {{2}^{2}}+4\times 2+4,5)}{3-2}=12-10,5=1,5\]
No intervalo [0, 2] a velocidade média é de 30 m/s, enquanto que no intervalo [2, 3] é de 15 m/s.
Conclui-se, por isso, que entre os 2 e 3 segundos a bola sobe mais devagar do que nos dois primeiros segundos.
- A bola atinge a altura máxima no instante em que a velocidade anular.
Como $a'(t)=-t+4$, então $a'(t)=0\Leftrightarrow -t+4=0\Leftrightarrow t=4$.
Dado que $a(4)=-0,5\times {{4}^{2}}+4\times 4+4,5=12,5$, a bola atinge a altura máxima de 125 metros, 4 segundos após o seu lançamento.
- Ora,
\[\begin{array}{*{35}{l}}
a(t)=0 & \Leftrightarrow & -0,5{{t}^{2}}+4t+4,5=0\wedge t\ge 0 \\
{} & \Leftrightarrow & t=\frac{-4\mp \sqrt{16+9}}{-1}\wedge t\ge 0 \\
{} & \Leftrightarrow & (t=-1\vee t=9)\wedge t\ge 0 \\
{} & \Leftrightarrow & t=9 \\
\end{array}\]A bola atinge a rua 9 segundos após o seu lançamento, com uma velocidade de -50 m/s, pois $a'(9)=-9+4=-5$.
Simulação
