A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: Aplicando

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Considere as funções

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 27 Ex. 2

Enunciado

Considere as funções:

$$f(x) = 2\operatorname{sen} x$$

$$g(x) =  – 0,5\operatorname{sen} x$$

$$h(x) =  – 1 + \operatorname{sen} x$$

$$t(x) =  – 1 + 2\operatorname{sen} x$$

Determine para cada uma:

  • a expressão geral dos zeros;
  • os extremos e a expressão dos minimizantes e maximizantes;
  • o contradomínio;
  • o período positivo mínimo.

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Funções do tipo $x \to B + A\operatorname{sen} \left( {\omega x – \phi } \right)$

Exploração da representação gráfica pela influência da variação de parâmetros na função $x \to B + A\operatorname{sen} \left( {\omega x - \phi } \right)$
  • Qual será o efeito do parâmetro $A$?
  • Qual será o efeito do parâmero $B$?
  • Qual será o efeito do parâmetro $\omega $?
  • Qual será o efeito do parâmetro $\phi $?
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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99

Enunciado

Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$

  1. Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
  2. O que se pode dizer sobre a concentração, após um longo período de tempo?

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Cálculo diferencial / Aplicando / 12.º Ano

Numa empresa

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 98

Enunciado

Numa empresa, o lucro originado pela produção de $n$ peças é dado, em milhares de contos, por $$L(n) = \ln \left( {100 + n} \right) + k$$ com $k$ constante real.

  1. Sabendo que, não havendo produção, não há lucro, determine $k$ e mostre que: $$L(n) = \ln \left( {1 + 0,01n} \right)$$
  2. Qual é o número mínimo de peças que é necessário produzir para que o lucro seja superior a 1 milhar de contos.
  3. Justifique que, apesar
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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Um fio encontra-se suspenso entre dois postes

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 230 Ex. 96

Enunciado

Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.

Considere a função $f$ definida por $$f(x) = 5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right)$$

Admita que $f(x)$ é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio a $x$ metros à direita do primeiro poste.

  1. Determine a diferença de alturas dos dois postes. Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às décimas.
  2. Recorrendo ao estudo da
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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Um novo analgésico: o AntiDor

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 94

Resolução

Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor.

A concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, $t$ horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por $$C(t) = {t^2}{e^{ – 0,6t}}\,\,\,\left( {t \geqslant 0} \right)$$

  1. Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, determine o valor de $t$ para o qual é máxima a concentração de AntiDor no sangue de uma pessoa que o tenha tomado.
    Calcule o valor dessa concentração máxima, apresentando
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12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

Reprodução de duas espécies vegetais

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 93

Enunciado

Um biólogo provoca, em laboratório, a reprodução de duas espécies vegetais, A e B. O número de exemplares de cada uma das espécies, ao fim de $t$ meses, após o início da experiência, é dado por:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
{{\text{Esp}}{\text{. A:}}}&{A(t) = 40 + \ln \left( {{t^2} + 1} \right)}
\end{array}$$

$$\begin{array}{*{20}{c}}
{{\text{Esp}}{\text{. B:}}}&{B(t) = \frac{{50}}{{1 + 8{e^{ – 0,5t}}}}}
\end{array}\,\,\,\left( {t > 0} \right)$$

  1. Determine o número de plantas de cada espécie utilizadas no início do processo.
  2. Verifique,
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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Capacidade pulmonar de um ser humano

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 92

Enunciado

Seja $f$ a função definida em $\left[ {10,100} \right]$ por $$f(x) = \frac{{\ln x – 2}}{x}$$

  1. Caraterize a função derivada $f’$.
  2. Representando por $x$ a idade, em anos, e por $g(x)$ a capacidade pulmonar de um ser humano, em litros, admite-se que $g(x) = 100 \times f(x)$.
    Calcule para que idade é máxima a capacidade pulmonar e qual é o valor dessa capacidade pulmonar. Apresente os resultados nas unidades consideradas, com aproximação às décimas.

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Cálculo diferencial / Aplicando / 12.º Ano

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 91

Enunciado

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C e retirada do forno às 17 horas para um compartimento que se encontra à temperatura de 20º C.

Admita que, passados 5 minutos, a piza se encontra à temperatura de 150º C.

Sabe-se que a temperatura $A$ (em ºC) de arrefecimento de um corpo varia com o tempo $t$ (em minutos), decorridos após ser retirado da fonte de calor, de acordo com uma lei do tipo $$A(t) = … Ler mais

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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Águias existentes numa reserva

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 90

Enunciado

Num determinado ano (ano zero) havia, em certo parque natural, 318 águias.

Passado um ano, o número de águias era 417.

Sabendo que o número $P$ de águias existentes nessa reserva, quando é decorrido o tempo $t$, contado do início dos registos, é dado por uma função do tipo $$P(t) = \frac{a}{{1 + b{e^{ – t}}}}$$ com $t$ expresso em anos.

  1. Mostre, analiticamente, que $a \approx 509$ e $b \approx 0,6$, para o caso da população de
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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

A representação gráfica da derivada de $f$

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 86

Enunciado

A curva $C$ é a representação gráfica da função derivada $f’$ de uma função $f$ derivável em $\left[ {1,5} \right]$.

A tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal.

  1. Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
    a) $f$ é contínua em $\left[ {1,5} \right]$;
    b) $f(1)<f(5)$.
  2. Sabendo que $f(2)=3$, escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa 2.
  3. Como varia o sinal da segunda
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12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

A representação gráfica de uma função real de variável real

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 226 Ex. 85

Enunciado

Segue-se a representação gráfica de uma função $f$ real de domínio $\mathbb{R}$.

O eixo das ordenadas e a reta de equação $y = mx + b$, representada a traço-ponto, são as únicas assíntotas do gráfico.

As retas tangentes ao gráfico de $f$, nos pontos de abcissas -2 e 1, são horizontais.

  1. Determine o contradomínio de $f$.
  2. Calcule o valor de $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f(x)}}{x}$.
    Escreva uma equação da assíntota oblíqua.
  3. Indique, justificando, quais
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Aplicando / 12.º Ano / Cálculo diferencial

Uma viga de aço

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 225 Ex. 83

Enunciado

Uma viga de aço com 255 decímetros de comprimento está assente sobre dois pilares com 150 decímetros de altura cada.

Quando, a $d$ decímetros do 1.º pilar, se coloca um peso de 115 kg sobre a viga, esta sofre uma depressão de valor $s$ (em decímetros) que nos é dada pela função assim definida: $$s(d) = 8,5 \times {10^{ – 7}}{d^2}\left( {255 – d} \right)$$

  1. Entre que valores pode variar $d$?
  2. Recorrendo à calculadora, determine a que
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12.º Ano / Cálculo diferencial / Aplicando

Um triângulo equilátero

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 81

Enunciado

Considere o triângulo retângulo [ABC] de lado $a$.

Inscreve-se nesse triângulo um retângulo [MNPQ].

Faça-se $\overline {AM}  = x$.

Para que valor de $x$ a área do retângulo é máxima?

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