A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: Aplicando

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Prendeu-se um carrinho à extremidade de uma mola

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 126 Ex. 3

Enunciado

Prendeu-se um carrinho à extremidade C de uma mola horizontal. A outra extremidade da mola está presa num ponto fixo A.

A posição de equilíbrio ocorre quando a mola não está esticada nem comprimida.

Se puxarmos o carrinho e o soltarmos de uma posição um pouco afastada da posição de equilíbrio ele vai oscilar de um lado para o outro em torno da posição de equilíbrio devido à ação da força elástica da mola.

Admitindo que a … Ler mais

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Considere a função real de variável real

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 125 Ex. 2

Enunciado

Considere a função real de variável real assim definida: $$f(x) = 1 + 2\cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$$

  1. O gráfico seguinte representa a função cosseno. Explique como a partir dele obtém o gráfico de $f$.
  2. Calcule o valor exato de $f\left( {\frac{{7\pi }}{2}} \right) – f\left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right)$.
  3. Determine o contradomínio da função dada.
  4. Determine uma expressão geral dos zeros da função.
  5. Averigue se $f(x + 2k\pi ) = f(x),\forall x \in \mathbb{R}$, com
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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Uma folha dobrada

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 125 Ex. 1

Enunciado

Depois de dobrada uma folha de papel retangular, o vértice A coincide com o vértice C.

Calcule o comprimento do vinco, sabendo que $\overline {AB}  = 24\,cm$ e $\overline {AD}  = 18\,cm$.

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

A diferença de potencial

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 41 Ex. 14

Enunciado

A diferença de potencial, medida em Volt, entre dois pontos de um circuito é dada por:

$$u(t) = 220\sqrt 2 \operatorname{sen} \left( {100\pi t + \frac{4}{5}\pi } \right)$$

($t$ em segundos)

  1. Mostre que $\frac{1}{{50}}$ é período da função $u$.
  2. Represente graficamente a função $u$.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Mostre que as funções são idênticas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 36 Ex. 13

Enunciado

Mostre que a função $x \to f(x) = 2\cos \left( {4x + 3\pi } \right)$ é idêntica à função $x \to g(x) = 2\operatorname{sen} \left( {4x – \frac{\pi }{2}} \right)$.

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

A partir das fórmulas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 34 Ex. 10

Enunciado

A partir das fórmulas correspondentes do seno e do cosseno, deduza uma fórmula para

  1. $\operatorname{tg} \left( {\alpha  + \beta } \right)$
  2. $\operatorname{tg} \left( {\alpha  – \beta } \right)$

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

A partir da fórmula

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 34 Ex. 9

Enunciado

A partir da fórmula $$\operatorname{sen} \left( {\alpha  + \beta } \right) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \operatorname{sen} \beta $$ encontre uma fórmula para:

  1. $\operatorname{sen} \left( {\alpha  – \beta } \right)$
  2. $\operatorname{sen} \left( {2\alpha } \right)$

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Prove que

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 33 Ex. 8

Enunciado

Prove que $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \operatorname{tg} x$$ não existe, encontrando duas sucessões infinitamente grandes, $({u_n})$ e $({v_n})$, tais que $\left( {\operatorname{tg} ({u_n})} \right)$ e $\left( {\operatorname{tg} ({v_n})} \right)$ convirjam para limites diferentes.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Qual é o período positivo mínimo?

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 32 Ex. 7

Enunciado Qual é o período positivo mínimo de cada uma das funções?

  1. $f:x \to \operatorname{tg} \left( {3x} \right)$
  2. $g:x \to \operatorname{tg} \left( {\frac{x}{4}} \right)$
  3. $h:x \to 2 + 3\operatorname{tg} \left( {\frac{x}{{10}}} \right)$

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Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando / 12.º Ano

Construa o gráfico da função

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 31 Ex. 5

Enunciado

  1. Construa o gráfico da função definida por $$f(x) = \cos \left( {x – \frac{\pi }{2}} \right)$$ e identifique outra função trigonométrica com esse gráfico.
  2. Comente a afirmação: “O gráfico da função $y =  – \cos x$ tem a mesma forma que o da função $y = \operatorname{sen} x$, mas está deslocado ${\frac{\pi }{2}}$ para a direita”.

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Aplicando / 12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente

Mostre que

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 29 Ex. 4

Enunciado

Mostre que:

  1. $\frac{{2\pi }}{\alpha }$ é período da função $g:x \to \cos \left( {\alpha x} \right)$
  2. $\frac{{2\pi }}{\alpha }$ é período da função $h:x \to \cos \left( {\alpha x} \right) + \operatorname{sen} \left( {\alpha x} \right)$

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12.º Ano / Funções seno, co-seno e tangente / Aplicando

Três funções trigonométricas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 28 Ex. 3

Enunciado

Considere, definidas em $\left[ { – \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}} \right]$, as funções:

$$x \to f(x) = \cos x$$

$$x \to g(x) = 3\cos x$$

$$x \to h(x) = \cos 3x$$

  1. Represente-as graficamente no mesmo referencial e pronuncie-se acerca do período, da paridade e do contradomínio de cada uma delas.
  2. Determine as coordenadas dos pontos de intersecção de $f$ com $h$.
  3. Resolva graficamente:a) $f(x) \geqslant h(x)$

    b) $\frac{{f(x)}}{{h(x)}} \geqslant 0$

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