Mostre que
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 29 Ex. 4
Enunciado
Mostre que:
- $\frac{{2\pi }}{\alpha }$ é período da função $g:x \to \cos \left( {\alpha x} \right)$
- $\frac{{2\pi }}{\alpha }$ é período da função $h:x \to \cos \left( {\alpha x} \right) + \operatorname{sen} \left( {\alpha x} \right)$
Resolução
- Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
{g(x + \frac{{2\pi }}{\alpha })}& = &{\cos \left[ {\alpha \left( {x + \frac{{2\pi }}{\alpha }} \right)} \right]} \\
{}& = &{\cos \left( {\alpha x + 2\pi } \right)} \\
{}& = &{\cos \left( {\alpha x} \right)} \\
{}& = &{g(x)}
\end{array}$$
então $g(x + \frac{{2\pi }}{\alpha }) = g(x),\forall x \in \mathbb{R}$, com $\alpha \ne 0$.Logo, $\frac{{2\pi }}{\alpha }$ é período da função $g$.
- Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
{h(x + \frac{{2\pi }}{\alpha })}& = &{\cos \left[ {\alpha \left( {x + \frac{{2\pi }}{\alpha }} \right)} \right] + \operatorname{sen} \left[ {\alpha \left( {x + \frac{{2\pi }}{\alpha }} \right)} \right]} \\
{}& = &{\cos \left( {\alpha x + 2\pi } \right) + \operatorname{sen} \left( {\alpha x + 2\pi } \right)} \\
{}& = &{\cos \left( {\alpha x} \right) + \operatorname{sen} \left( {\alpha x} \right)} \\
{}& = &{h(x)}
\end{array}$$
então $h(x + \frac{{2\pi }}{\alpha }) = h(x),\forall x \in \mathbb{R}$, com $\alpha \ne 0$.Logo, $\frac{{2\pi }}{\alpha }$ é período da função $h$.
![Um quadrado [ABCD]](https://www.acasinhadamatematica.pt/wp-content/uploads/2018/04/9V2Pag92-1a-720x340.png)
