Considere a função real de variável real
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 125 Ex. 2
Enunciado
Considere a função real de variável real assim definida: $$f(x) = 1 + 2\cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$$
- O gráfico seguinte representa a função cosseno. Explique como a partir dele obtém o gráfico de $f$.
- Calcule o valor exato de $f\left( {\frac{{7\pi }}{2}} \right) – f\left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right)$.
- Determine o contradomínio da função dada.
- Determine uma expressão geral dos zeros da função.
- Averigue se $f(x + 2k\pi ) = f(x),\forall x \in \mathbb{R}$, com $k \in \mathbb{Z}$. O que pode concluir?
Resolução
- O gráfico da função $f$ pode ser obtido a partir do gráfico dado através de uma translação associada ao vetor $\overrightarrow u = \left( {\frac{\pi }{3},0} \right)$, seguida de alongamento vertical de fator 2 e, por fim, de uma translação associada ao vetor $\overrightarrow v = \left( {0,1} \right)$.
- Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( {\frac{{7\pi }}{2}} \right) – f\left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right)}& = &{1 + 2\cos \left( {\frac{{7\pi }}{2} – \frac{\pi }{3}} \right) – \left[ {1 + 2\cos \left( {\frac{{7\pi }}{6} – \frac{\pi }{3}} \right)} \right]} \\ {}& = &{2\cos \left( {\frac{{19\pi }}{6}} \right) – 2\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right)} \\ {}& = &{2\cos \left( {2\pi + \pi + \frac{\pi }{6}} \right) – 2\cos \left( {\pi – \frac{\pi }{6}} \right)} \\ {}& = &{ – 2\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) + 2\cos \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)} \\ {}& = &{ – 2\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) + 2\cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right)} \\ {}& = &0 \end{array}$$
- O contradomínio da função $x \to \cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$, de domínio $\mathbb{R}$, é $\left[ { – 1,1} \right]$. Assim, o contradomínio da função $x \to 2\cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$ é $\left[ { – 2,2} \right]$ e, consequentemente, será $D{‘_f} = \left[ { – 1,3} \right]$.
- Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}} {f(x) = 0}& \Leftrightarrow &{1 + 2\cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) = 0} \\ {}& \Leftrightarrow &{\cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) = – \frac{1}{2}} \\ {}& \Leftrightarrow &{x – \frac{\pi }{3} = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \\ {}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}} {x = – \frac{\pi }{3} + 2k\pi }& \vee &{x = \pi + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \end{array}} \end{array}$$
- Como $$\begin{array}{*{20}{l}} {f(x + 2k\pi )}& = &{1 + 2\cos \left( {x + 2k\pi – \frac{\pi }{3}} \right)} \\ {}& = &{1 + 2\cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)} \\ {}& = &{f(x)} \end{array}$$ então $f(x + 2k\pi ) = f(x),\forall x \in \mathbb{R}$, com $k \in \mathbb{Z}$, o que permite concluir que $f$ é uma função periódica com período positivo mínimo $2\pi $.
