Prendeu-se um carrinho à extremidade de uma mola
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 126 Ex. 3
Prendeu-se um carrinho à extremidade C de uma mola horizontal. A outra extremidade da mola está presa num ponto fixo A.
A posição de equilíbrio ocorre quando a mola não está esticada nem comprimida.
Se puxarmos o carrinho e o soltarmos de uma posição um pouco afastada da posição de equilíbrio ele vai oscilar de um lado para o outro em torno da posição de equilíbrio devido à ação da força elástica da mola.
Admitindo que a distância (em decímetros) do ponto A ao ponto C, $t$ segundos após o instante em que o carrinho foi solto, é dada em função do tempo $t$ (em segundos) por $$\begin{array}{*{20}{c}}
{d(t) = 4{e^{ – 0,2t}}\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) + 8}&{({\text{com }}t \geqslant 0)}
\end{array}$$
- A que distância do ponto A se encontra o ponto C, no instante em que o carrinho é solto?
- Explique o significado da quação $d(t) = 8$ e, em seguida, resolva-a.
- Mostre que existe pelo menos um instante em que o ponto C esteve a 10 decímetros do ponto A.
- Qual é o valor de $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } d(t)$?
Interprete este valor em termos do movimento do carrinho.
Admitindo que a distância (em decímetros) do ponto A ao ponto C, $t$ segundos após o instante em que o carrinho foi solto, é dada em função do tempo $t$ (em segundos) por $$\begin{array}{*{20}{c}}
{d(t) = 4{e^{ – 0,2t}}\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) + 8}&{({\text{com }}t \geqslant 0)}
\end{array}$$
- No instante em que o carrinho é solto, o ponto C encontra-se a $d(0) = 4{e^0}\cos \left( {\frac{\pi }{3} \times 0} \right) + 8 = 4 \times 1 + 8 = 12$ decímetros do ponto A.
- No contexto da situação, a equação permite determinar os instantes em que o carrinho passa pelo ponto de equilíbrio.
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{d(t) = 8}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{4{e^{ – 0,2t}}\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) + 8 = 8}& \wedge &{t \geqslant 0}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{4{e^{ – 0,2t}}\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = 0}& \wedge &{t \geqslant 0}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = 0}& \wedge &{t \geqslant 0}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\frac{\pi }{3}t = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}_0^ + } \\
{}& \Leftrightarrow &{t = \frac{3}{2} + 3k,k \in \mathbb{Z}_0^ + }
\end{array}$$
- A função $d$ é contínua no seu domínio, logo é também contínua no intervalo $\left[ {0,\frac{3}{2}} \right]$.
Como $d(0) = 12$ e $d(\frac{3}{2}) = 0$, então $d(\frac{3}{2}) < 10 < d(0)$.
Logo, de acordo com o teorema de Bolzano, $\exists t \in \left] {0,\frac{3}{2}} \right[:d(t) = 10$.
Portanto, existe pelo menos um instante em que o ponto C esteve a 10 decímetros do ponto A.
- Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } d(t)}& = &{\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {4{e^{ – 0,2t}}\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) + 8} \right)} \\
{}& = &{\underbrace {\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {4{e^{ – 0,2t}}\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right)} \right)}_{0\,\,(*)} + 8} \\
{}& = &8
\end{array}$$
(*) Ainda que não exista $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right)$, tem-se que $ – 1 \leqslant \cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) \leqslant 1,\forall t \in \mathbb{R}$ e $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } 4{e^{ – 0,2t}} = 0$.
O carrinho vai oscilando em torno do ponto de equilíbrio e, com o decorrer do tempo, tende a parar a 8 dm do ponto A.
