Prove que
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 33 Ex. 8
Prove que $$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \operatorname{tg} x$$ não existe, encontrando duas sucessões infinitamente grandes, $({u_n})$ e $({v_n})$, tais que $\left( {\operatorname{tg} ({u_n})} \right)$ e $\left( {\operatorname{tg} ({v_n})} \right)$ convirjam para limites diferentes.
Consideremos as sucessões $({u_n})$ e $({v_n})$, infinitamente grandes negativos, tais que:
$${u_n} = \frac{\pi }{4} – n\pi $$ e $${v_n} = \frac{{3\pi }}{4} – n\pi $$
Ora, $$\mathop {\lim }\limits_{} \operatorname{tg} ({u_n}) = \mathop {\lim }\limits_{} \left( {\operatorname{tg} \left( {\frac{\pi }{4} – n\pi } \right)} \right) = 1$$ e $$\mathop {\lim }\limits_{} \operatorname{tg} ({v_n}) = \mathop {\lim }\limits_{} \left( {\operatorname{tg} \left( {\frac{{3\pi }}{4} – n\pi } \right)} \right) = – 1$$
Verifica-se que duas sucessões de elementos pertencentes ao domínio da função $x \to \operatorname{tg} x$ tendem para $ – \infty $, enquanto as respetivas sucessões imagens convergem para dois números distintos, o que contraria a definição de Heine sobre o limite de uma função em $x = a$.
Logo, não existe $$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \operatorname{tg} x$$
