Três funções trigonométricas
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 28 Ex. 3
Enunciado
Considere, definidas em $\left[ { – \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}} \right]$, as funções:
$$x \to f(x) = \cos x$$
$$x \to g(x) = 3\cos x$$
$$x \to h(x) = \cos 3x$$
- Represente-as graficamente no mesmo referencial e pronuncie-se acerca do período, da paridade e do contradomínio de cada uma delas.
- Determine as coordenadas dos pontos de intersecção de $f$ com $h$.
- Resolva graficamente:a) $f(x) \geqslant h(x)$
b) $\frac{{f(x)}}{{h(x)}} \geqslant 0$
Resolução
O período positivo mínimo das funções $f$e $g$ é $2\pi $.
O período positivo mínimo da função $h$ é $\frac{{2\pi }}{3}$, pois $3x = 2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3}$.Tendo em conta o domínio considerado para cada uma das funções, conclui-se que qualquer uma não é função par, nem função ímpar, pois qualquer dos gráficos não é simétrico relativamente ao eixo das ordenadas, nem simétrico relativamente à origem do referencial.
Quanto aos contradomínios, $D{‘_f} = D{‘_h} = \left[ { – 1,1} \right]$ e $D{‘_g} = \left[ { – 3,3} \right]$.
- Os gráficos de $f$ e $h$ intersetam-se nos pontos de coordenadas: $$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( { – \frac{\pi }{2},0} \right)}&,&{\left( {0,1} \right)}&,&{\left( {\frac{\pi }{2},0} \right)}&,&{\left( {\pi , – 1} \right)}&{\text{e}}&{\left( {\frac{{3\pi }}{2},0} \right)}
\end{array}$$
cujas abcissas se podem confirmar analiticamente:
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) = h(x)}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos x = \cos (3x)}& \wedge &{x \in \left[ { – \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}} \right]}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{3x = \pm x + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}& \wedge &{x \in \left[ { – \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}} \right]}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x = 2k\pi }& \vee &{4x = }
\end{array}2k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)}& \wedge &{x \in \left[ { – \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}} \right]}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = k\pi }& \vee &{x = }
\end{array}\frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right)}& \wedge &{x \in \left[ { – \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}} \right]}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}}& \wedge &{x \in \left[ { – \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}} \right]}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{x \in \left\{ { – \frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right\}}
\end{array}$$
- Por interpretação do gráfico, tem-se:
$$\begin{array}{*{20}{c}}
{f(x) \geqslant h(x)}& \Leftrightarrow &{x \in \left[ { – \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]}
\end{array} \cup \left\{ {\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right\}$$
$$\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{{f(x)}}{{h(x)}} \geqslant 0}& \Leftrightarrow &{x \in \left] { – \frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}} \right[}
\end{array} \cup \left] { – \frac{{5\pi }}{6},\frac{{7\pi }}{6}} \right[$$
