A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Category: Aplicando

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8.º Ano / Funções / Aplicando

A função h está definida pela tabela

Funções: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 61 Ex. 4

Enunciado

A função h está definida pela tabela:

x y
-1 1
-2 2
3 -3
  1. Indica o domínio e o contradomínio da função.
  2. Representa a função por meio de um gráfico cartesiano.
  3. Define a função por meio de uma expressão analítica.

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Aplicando / 8.º Ano / Funções

Gráfico da função afim: $x\to kx+b$

1.ª Parte

No plano, dois pontos distintos definem uma reta.

Se associarmos um referencial cartesiano a esse plano, essa reta (desde que não seja paralela ao eixo das ordenadas) pode ser caracterizada por uma equação do tipo $y=kx+b$.

Constata-se ainda que as coordenadas de todos os pontos dessa reta verificam essa equação.

Explora a animação, verifica o que foi referido acima e interpreta geometricamente o efeito dos parâmetros k e b.

  1. Em que situação se obtém
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Aplicando / 11.º Ano / Funções racionais

Estudo da classe de funções $x\to b+\frac{a}{dx-c}$

Funções racionais

Investigue a influência dos parâmetros a, b, c e d no gráfico da família de funções $x\to b+\frac{a}{dx-c}$ e como obter os seus gráficos a partir do gráfico de $x\to \frac{1}{x}$.

Aproveite a oportunidade para indicar o domínio, o contradomínio, o sinal, a paridade  e o sentido de variação das sucessivas funções obtidas, assim como as equações das assíntotas dos seus gráficos.

Sugestão:

  1. Comece por investigar a influência de cada parâmetro individualmente.
    Por exemplo, considere $b=c=0$, $d=1$ e
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Aplicando / 11.º Ano / Programação Linear

Um criador de suínos

Programação linear: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 162 Ex. 75

Enunciado

Um criador de suínos pretende saber qual a composição da ração diária, de cada animal, em granulado e farinha, de modo que, mantendo certa qualidade nutritiva, o seu custo seja mínimo.

No quadro seguinte estão os dados relativos ao custo, às quantidades mínimas diárias de ingredientes bem como as quantidades mínimas existentes em cada tipo de ração (g/kg).

Ração

Ingredientes
(g/kg)		 Granulado Farinha Quantidade mínima
requerida
Carbohidratos 20 50 200
Vitaminas 50 10 150
Proteínas
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Aplicando / 11.º Ano / Programação Linear

Para florir um parque

Programação linear: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 162 Ex. 74

Enunciado

Para florir um parque são precisos, pelo menos, 1200 jacintos, 3200 túlipas e 3000 narcisos.

Um viveiro oferece um lote A composto por 30 jacintos, 40 túlipas e 30 narcisos por 75 €; outro viveiro oferece o lote B composto por 10 jacintos, 40 túlipas e 50 narcisos, por 60 €.

Quantos lotes de cada tipo devem comprar-se para obter a despesa mínima?

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Para facilitar a análise do problema, comecemos por organizar parte dos … Ler mais

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Programação Linear / Aplicando / 11.º Ano

Uma ponte aérea

Programação linear: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 161 Ex. 73

Enunciado

Pretende-se organizar uma ponte aérea para transportar 1600 pessoas e 90 toneladas de bagagem.

Os aviões disponíveis são de dois tipos: 12 do tipo A e 9 do tipo B.

Com carga completa, um avião do tipo A pode transportar 200 pessoas e 6 toneladas de bagagem. Um avião do tipo B pode transportar 100 pessoas e 15 toneladas.

Quantos aviões de cada tipo devem ser contratados para que o custo do aluguer seja mínimo, sabendo que … Ler mais

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Aplicando / 11.º Ano / Programação Linear

Uma fábrica produz dois tipos de fechaduras

Programação linear: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 160 Ex. 72

Enunciado

Uma fábrica produz dois tipos de fechaduras, cujos preços de venda são, respetivamente, 40 e 30 euros a unidade.

Para as fabricar, ela utiliza três tipos de produtos, A, B e C, nas proporções que se indicam de seguida.

Para fabricar a fechadura do primeiro tipo, gasta 15 unidades do produto A, 10 do produto B e 5 unidades do produto C; para fabricar do segundo tipo, gasta 9 do produto A e 10 unidades … Ler mais

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8.º Ano / Decomposição de figuras - Teorema de Pitágoras / Aplicando

Um copo

Decomposição de figuras - Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 39 Ex. 6

Enunciado

Um copo tem interiormente a forma de um cone de revolução.

Tendo em conta as indicações da figura, calcula:

  1. a altura do copo;
  2. um valor aproximado às unidades da capacidade do copo.

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Aplicando / 8.º Ano / Decomposição de figuras - Teorema de Pitágoras

Um cone de revolução

Decomposição de figuras - Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 39 Ex. 5

Enunciado

Um cone de revolução com 8 dm de altura tem por base um círculo com 6 dm de raio.

Quanto mede a sua geratriz?

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Decomposição de figuras - Teorema de Pitágoras / Aplicando / 8.º Ano

Um prisma

Decomposição de figuras - Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 39 Ex. 4

Enunciado

Observa o prisma representado na figura:

  1. Indica, usando as letras da figura:
    – duas retas paralelas;
    – dois planos perpendiculares;
    –  uma reta e um plano perpendiculares;
    – dois planos paralelos;
    – uma reta paralela a um plano.
  2. Calcula o volume do prisma.
  3. Determina um valor aproximado às unidades da área total do prisma.

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Aplicando / 8.º Ano / Decomposição de figuras - Teorema de Pitágoras

Cortou-se um cubo

Decomposição de figuras - Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 39 Ex. 3

Enunciado

Cortou-se um cubo por um plano contendo as diagonais de duas faces paralelas.

  1. Que forma tem a secção obtida?
  2. Sabendo que o cubo tem 4 cm de aresta, relaciona a área da secção com a área de uma face.

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Aplicando / 8.º Ano / Decomposição de figuras - Teorema de Pitágoras

O quarto do Fernando

Decomposição de figuras - Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 39 Ex. 2

Enunciado

O quarto do Fernando tem 2,45 m de altura.

Ele comprou um armário cujas medidas, em metros, estão indicadas na figura.

Ele conseguirá colocar o armário em pé sem ser preciso desmontá-lo?

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Aplicando / 8.º Ano / Decomposição de figuras - Teorema de Pitágoras

O varão de um cortinado

Decomposição de figuras - Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Parte 1 Pág. 39 Ex. 1

Enunciado

Qual o comprimento máximo que pode ter o varão de um cortinado que se deseja guardar provisoriamente numa arrecadação de 3 m de comprimento, 4 m de largura e 3 m de altura?

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Aplicando / 11.º Ano / Geometria Analítica

Um cubo

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 191 Ex. 69

Enunciado

Na figura está representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

  • a face [OPQR] está contida no plano xOy;
  • a face [OSVR] está contida no plano xOz;
  • a face [OSTP] está contida no plano yOz;
  • uma equação do plano VTQ é $x+y+z=6$.
  1. Mostre que o volume do cubo é 27.
  2. Determine uma equação da superfície esférica, tal que:
    – o centro é o simétrico de U, em relação ao plano xOy;
    – o ponto Q pertence
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