Um cubo
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 191 Ex. 69
Enunciado
Na figura está representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz.
Sabe-se que:
- a face [OPQR] está contida no plano xOy;
- a face [OSVR] está contida no plano xOz;
- a face [OSTP] está contida no plano yOz;
- uma equação do plano VTQ é $x+y+z=6$.
- Mostre que o volume do cubo é 27.
- Determine uma equação da superfície esférica, tal que:
– o centro é o simétrico de U, em relação ao plano xOy;
– o ponto Q pertence a essa superfície esférica. - Seja $\alpha $ o plano que contém o ponto S e é paralelo ao plano VTQ.
Prove que a recta RP está contida em $\alpha $.
Resolução
As coordenadas do ponto V são da forma $(a,0,a)$, com $a>0$.
Como V pertence ao plano VTQ, vem $a+0+a=6\Leftrightarrow a=3$.
Logo, a aresta do cubo tem 3 unidades de comprimento, pelo que o seu volume é 27 unidades cúbicas.
- O ponto simétrico de U, em relação ao plano xOy, é o ponto $U’\,(3,3,-3)$.
O raio da superfície esférica é $r=\overline{U’Q}=3$.
Logo, ${{(x-3)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=9$ é uma equação da superfície esférica considerada.
- A equação do plano $\alpha $ é da forma $x+y+z+d=0$.
Como S é um ponto desse plano, então $0+0+3+d=0\Leftrightarrow d=-3$. Logo, $x+y+z-3=0$ é uma equação do plano $\alpha $.
Os pontos R e P (distintos) pertencem a este plano: $3+0+0-3=0$ e $0+3+0-3=0$ são ambas proposições verdadeiras.
Consequentemente, a reta RP está contida no plano $\alpha $, pois dois pontos distintos dessa reta pertencem a esse plano.
