Para florir um parque
Programação linear: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 162 Ex. 74
Para florir um parque são precisos, pelo menos, 1200 jacintos, 3200 túlipas e 3000 narcisos.
Um viveiro oferece um lote A composto por 30 jacintos, 40 túlipas e 30 narcisos por 75 €; outro viveiro oferece o lote B composto por 10 jacintos, 40 túlipas e 50 narcisos, por 60 €.
Quantos lotes de cada tipo devem comprar-se para obter a despesa mínima?
Para facilitar a análise do problema, comecemos por organizar parte dos dados numa tabela:
| Lote de flores | Preço de venda (€) | Composição do lote (unidades) | ||
| Jacintos | Túlipas | Narcisos | ||
| Lote A | 75 | 30 | 40 | 30 |
| Lote B | 60 | 10 | 40 | 50 |
As incógnitas do problema são:
- x, o número de lotes A adquiridos
- y, o número de lotes B adquiridos
Organizemos os dados numa tabela para podermos relacioná-los mais facilmente.
| Lote de flores | N.º de lotes comprados | N.º de flores adquiridas (unidades) | Despesa (€) | ||
| Jacintos | Túlipas | Narcisos | |||
| Lote A | $x$ | $30x$ | $40x$ | $30x$ | $75x$ |
| Lote B | $y$ | $10y$ | $40y$ | $50y$ | $60y$ |
| Total | $x+y$ | $30x+10y$ | $40x+40y$ | $30x+50y$ | $75x+60y$ |
O problema tem as seguintes restrições:
-
$x\in {{\mathbb{N}}_{0}}$ e $y\in {{\mathbb{N}}_{0}}$
O número de lotes a adquirir de cada tipo é inteiro não negativo; -
$30x+10y\ge 1200\Leftrightarrow 3x+y\ge 120$
São necessários, pelo menos, 1200 jacintos; - $40x+40y\ge 3200\Leftrightarrow x+y\ge 80$
São necessárias, pelo menos, 3200 túlipas; - $30x+50y\ge 3000\Leftrightarrow 3x+5y\ge 300$
São necessários, pelo menos, 3000 narcisos.
Cada lote A é vendido a 75 € e cada lote B é vendido a 60 €.
Portanto, a função objetivo é: $D=75x+60y\Leftrightarrow y=-\frac{5}{4}x+\frac{D}{60}$
Os pontos admissíveis, isto é, os pontos cujas coordenadas satisfazem as condições impostas, são os pontos de coordenadas inteiras pertencentes ao domínio plano representado, no seu interior ou sobre a sua fronteira.
Validemos as coordenadas dos pontos G e H, assinalados no referencial apresentado:
$\begin{matrix}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
3x+y=120 \\
x+y=80 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2x=40 \\
x+y=80 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=20 \\
y=60 \\
\end{array} \right. & \to & H(20,60) \\
\end{matrix}$
$\begin{matrix}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+y=80 \\
3x+5y=300 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2y=60 \\
x+y=80 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=50 \\
y=30 \\
\end{array} \right. & \to & G(50,30) \\
\end{matrix}$
Graficamente, a solução ótima parece ser o par (20, 60), isto é, as coordenadas do ponto H.
Vamos, então, verificar analiticamente se essa suposição é verdadeira:
- ${{D}_{A}}=75\times 0+60\times 120=7200$
- ${{D}_{H}}=75\times 20+60\times 60=5100$
- ${{D}_{G}}=75\times 50+60\times 30=5550$
- ${{D}_{E}}=75\times 100+60\times 0=7500$
Confirma-se, portanto, que a solução ótima é o par ordenado (20, 60).
Assim, para tornar mínima a despesa, devem ser adquiridos 20 lotes A e 60 lotes B.
