Uma fábrica produz dois tipos de fechaduras
Programação linear: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 160 Ex. 72
Uma fábrica produz dois tipos de fechaduras, cujos preços de venda são, respetivamente, 40 e 30 euros a unidade.
Para as fabricar, ela utiliza três tipos de produtos, A, B e C, nas proporções que se indicam de seguida.
Para fabricar a fechadura do primeiro tipo, gasta 15 unidades do produto A, 10 do produto B e 5 unidades do produto C; para fabricar do segundo tipo, gasta 9 do produto A e 10 unidades tanto do produto B como C.
Em stock só tem 900 unidades do produto A, 700 do produto B e 600 do produto C.
O seu objetivo é tornar máxima a receita total, combinando da melhor forma as produções dos dois tipos de fechaduras.
Para facilitar a análise do problema, comecemos por organizar parte dos dados numa tabela:
| Tipo de fechadura | Preço de venda (€) | Tipo de produto para o fabrico (unidades) | ||
| A | B | C | ||
| Tipo 1 | 40 | 15 | 10 | 5 |
| Tipo 2 | 30 | 9 | 10 | 10 |
As incógnitas do problema são:
- x, o número de fechaduras do tipo 1
- y, o número de fechaduras do tipo 2
Organizemos os dados numa tabela para podermos relacioná-los mais facilmente.
| Tipo de fechadura | N.º de fechaduras fabricadas |
Produto gasto (unidades) | Receita (€) | ||
| A | B | C | |||
| Tipo 1 | $x$ | $15x$ | $10x$ | $5x$ | $40x$ |
| Tipo 2 | $y$ | $9y$ | $10y$ | $10y$ | $30y$ |
| Total | $x+y$ | $15x+9y$ | $10x+10y$ | $5x+10y$ | $40x+30y$ |
O problema tem as seguintes restrições:
-
$x\in {{\mathbb{N}}_{0}}$ e $y\in {{\mathbb{N}}_{0}}$
O número de fechaduras a produzir de cada tipo é inteiro não negativo; -
$15x+9y\le 900\Leftrightarrow 5x+3y\le 300$
Em stock só há 900 unidades do produto A; - $10x+10y\le 700\Leftrightarrow x+y\le 70$
Em stock só há 700 unidades do produto B; - $5x+10y\le 600\Leftrightarrow x+2y\le 120$
Em stock só há 600 unidades do produto C.
Cada fechadura do tipo 1 é vendida a 40 € e cada do tipo 2 é vendida a 30 €.
Portanto, a função objetivo é: $R=40x+30y\Leftrightarrow y=-\frac{4}{3}x+\frac{R}{30}$
Os pontos admissíveis, isto é, os pontos cujas coordenadas satisfazem as condições impostas, são os pontos de coordenadas inteiras pertencentes ao pentágono [OAHGE], no seu interior ou sobre os seus lados.
Validemos as coordenadas dos pontos G e H, assinalados no referencial apresentado:
$\begin{matrix}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
5x+3y=300 \\
x+y=70 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-2y=-50 \\
x+y=70 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=45 \\
y=25 \\
\end{array} \right. & \to & H(45,25) \\
\end{matrix}$
$\begin{matrix}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+y=70 \\
x+2y=120 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
y=50 \\
x+y=70 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=20 \\
y=50 \\
\end{array} \right. & \to & G(20,50) \\
\end{matrix}$
Graficamente, a solução ótima parece ser o par (45, 25), isto é, as coordenadas do ponto H.
Vamos, então, verificar analiticamente se essa suposição é verdadeira:
- ${{R}_{O}}=40\times 0+30\times 0=0$
- ${{R}_{A}}=40\times 60+30\times 0=2400$
- ${{R}_{H}}=40\times 45+30\times 25=2550$
- ${{R}_{G}}=40\times 20+30\times 50=2300$
- ${{R}_{E}}=40\times 0+30\times 60=1800$
Confirma-se, portanto, que a solução ótima é o par ordenado (45, 25).
Assim, para tornar máxima a receita total, devem ser produzidas 45 fechaduras do tipo 1 e 25 do tipo 2.
Depois de definidas uma janela de visualização adequada e as condições estabelecidas pelas restrições do problema, representou-se o domínio plano correspondente.
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Os pontos admissíveis, isto é, os pontos cujas coordenadas satisfazem as restrições impostas, são os pontos de coordenadas inteiras pertencentes ao pentágono, no seu interior ou sobre os seus lados. Determinemos as coordenadas de alguns dos seus vértices:
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Representada uma recta da família definida pela função objetivo, a sua posição relativa face aos vértices do polígono leva a admitir que a solução ótima é o par ordenado (45, 25), coordenadas de um dos seus vértices:
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