Um criador de suínos
Programação linear: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 162 Ex. 75
Um criador de suínos pretende saber qual a composição da ração diária, de cada animal, em granulado e farinha, de modo que, mantendo certa qualidade nutritiva, o seu custo seja mínimo.
No quadro seguinte estão os dados relativos ao custo, às quantidades mínimas diárias de ingredientes bem como as quantidades mínimas existentes em cada tipo de ração (g/kg).
| Ingredientes (g/kg) |
Granulado | Farinha | Quantidade mínima requerida |
| Carbohidratos | 20 | 50 | 200 |
| Vitaminas | 50 | 10 | 150 |
| Proteínas | 30 | 30 | 210 |
| Custo (€/kg) | 10 | 5 | – |
Para facilitar a análise do problema, comecemos por reproduzir a tabela dada.
| Ingredientes (g/kg) |
Granulado | Farinha | Quantidade mínima requerida |
| Carbohidratos | 20 | 50 | 200 |
| Vitaminas | 50 | 10 | 150 |
| Proteínas | 30 | 30 | 210 |
| Custo (€/kg) | 10 | 5 | – |
As incógnitas do problema são:
- x, a quantidade diária de granulado por animal (em kg)
- y, a quantidade diária de farinha por animal (em kg)
Organizemos os dados numa tabela para podermos relacioná-los mais facilmente.
| Ração | Quantidade diária por animal (kg) |
Ingredientes (g) | Custo (€) | ||
| Carbohidratos | Vitaminas | Proteínas | |||
| Granulado | $x$ | $20x$ | $50x$ | $30x$ | $10x$ |
| Farinha | $y$ | $50y$ | $10y$ | $30y$ | $5y$ |
| Total | $x+y$ | $20x+50y$ | $50x+10y$ | $30x+30y$ | $10x+5y$ |
O problema tem as seguintes restrições:
-
$x\in \mathbb{R}_{0}^{+}$ e $y\in \mathbb{R}_{0}^{+}$
A quantidade diária de granulado ou farinha por animal é não negativa; -
$20x+50y\ge 200\Leftrightarrow 2x+5y\ge 20$
A dose mínima diária por animal de carbohidratos é de 200 g; - $50x+10y\ge 150\Leftrightarrow 5x+y\ge 15$
A dose mínima diária por animal de vitaminas é de 150 g; - $30x+30y\ge 210\Leftrightarrow x+y\ge 7$
A dose mínima diária por animal de proteínas é de 210 g.
Cada quilograma de granulado custa 10 € e cada quilograma de farinha custa 5 €.
Portanto, a função objetivo é: $C=10x+5y\Leftrightarrow y=-2x+\frac{C}{5}$.
Os pontos admissíveis, isto é, os pontos cujas coordenadas satisfazem as condições impostas, são os pontos pertencentes ao domínio plano representado, no seu interior ou sobre a sua fronteira.
Validemos as coordenadas dos pontos G e H, assinalados no referencial apresentado:
$\begin{matrix}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2x+5y=20 \\
x+y=7 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
3y=6 \\
x+y=7 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=5 \\
y=2 \\
\end{array} \right. & \to & H(5,2) \\
\end{matrix}$
$\begin{matrix}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
5x+y=15 \\
x+y=7 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
4x=8 \\
x+y=7 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=2 \\
y=5 \\
\end{array} \right. & \to & G(2,5) \\
\end{matrix}$
Graficamente, a solução ótima parece ser o par (2, 5), isto é, as coordenadas do ponto G.
Vamos, então, verificar analiticamente se essa suposição é verdadeira:
- ${{C}_{C}}=10\times 0+5\times 15=75$
- ${{C}_{G}}=10\times 2+5\times 5=45$
- ${{C}_{H}}=10\times 5+5\times 2=60$
- ${{C}_{B}}=10\times 10+5\times 0=100$
Confirma-se, portanto, que a solução ótima é o par ordenado (2, 5).
Assim, para tornar mínimo o custo da ração diária por animal, esta deve ser constituída por 2 kg de granulado e 5 kg de farinha.
