Category: Geometria Analítica

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Um octaedro

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 185 Ex. 45

Enunciado

Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um octaedro [ABCDEF].

Sabe-se que:

  • O vértice B tem coordenadas (1,0,1).
  • O vértice E tem coordenadas (0,1,1).
  • O vértice F pertence ao plano xOy.
  • O vértice A tem coordenadas (1,1,2).
  1. Mostre que a recta definida pela condição $x=y=z$ é
Dados três pontos 0

Dados três pontos

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 184 Ex. 44

Enunciado

Sejam $A\,(2,0,0,)$, $B\,(-4,0,0)$ e $C\,(0,6,0)$ três pontos dados pelas suas coordenadas num referencial ortonormado.

  1. Determine as equações dos planos mediadores dos segmentos de recta [AB], [BC] e [CA].
     
  2. Mostre que estes planos têm uma recta comum e indique uma equação desta recta.
     
  3. Determine as coordenadas do ponto
Posição de uma recta em relação a um plano 0

Posição de uma recta em relação a um plano

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 184 Ex. 43

Enunciado

Considere o plano de equação $x-y+z-3=0$ e a recta que passa por $A\,(1,1,1)$ e tem a direcção do vector $\vec{u}\,(1,-1,1)$ .

  1. Qual a posição relativa da recta em relação ao plano? Justifique.
     
  2. Determine o ponto de intersecção da recta com o plano.

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  1. Um vector
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Uma pirâmide quadrangular regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 184 Ex. 42

Enunciado

Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular.

A base da pirâmide está contida no plano de equação $z=4$.

  • O vértice A pertence ao eixo Oz.
  • O vértice B pertence ao plano yOz.
  • O vértice D pertence ao plano xOz.
  • O vértice C
Equações cartesianas de duas rectas 0

Equações cartesianas de duas rectas

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 184 Ex. 41

Enunciado

Seja um referencial ortonormado $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

Dados os pontos $A\,(2,3,-1)$ e $B\,(2,-1,4)$ e o vector $\vec{u}\,(1,4,-2)$ , determine:

  1. uma equação vectorial da recta que passa em A e é paralela a ${\vec{u}}$ ;
  2. equações cartesianas da recta que passa em A e tem a direcção de ${\vec{u}}$ ;
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Uma escada com três degraus

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 183 Ex. 40

Enunciado

A figura representa uma escada com três degraus em madeira.

Sabe-se que a largura da escada é 80 cm e que se gasta 1m2 de madeira para a construir [parte colorida].

Sabendo que o ângulo α é tal que $tg\,\alpha =\frac{3}{4}$, determine x, p e …

Procure uma solução para a seguinte condição e apresente uma interpretação geométrica 0

Procure uma solução para a seguinte condição e apresente uma interpretação geométrica

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 183 Ex. 39

Enunciado Procure uma solução para a seguinte condição e apresente uma interpretação geométrica para o resultado que encontrar:

  1. $\begin{matrix}    2x-3y-2z=2 & \wedge  & 4x-3y+z=4 & \wedge  & 2x+12y-7z=2  \\ \end{matrix}$  
  2. $\begin{matrix}    5x+y+z=-5 & \wedge  & 2x+13y-7z=-1 & \wedge  & x-y+z=1  \\ \end{matrix}$

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  1.   \[\begin{array}{*{35}{l}}    \begin{array}{*{35}{r}}    (-2\times
Resolva, classifique e interprete geometricamente as soluções dos seguintes sistemas 0

Resolva, classifique e interprete geometricamente as soluções dos seguintes sistemas

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 183 Ex. 38

Enunciado Resolva, classifique e interprete geometricamente as soluções dos seguintes sistemas:

  1. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x+y=0  \\    x+y+z=3  \\    x-z=1  \\ \end{array} \right.$
     
  2. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    a-b-c=3  \\    2a-b+2c=2  \\    a+10b-3c=5  \\ \end{array} \right.$
     
  3. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    2a-3b-2c=2  \\    4a-3b+c=4  \\    2a+12b-7c=2  \\ \end{array} \right.$
     
  4. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    2y+z-x=0  \\    x+y-2z=5  \\    x+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}z=\frac{15}{2} 
Determine a intersecção dos planos α, β e γ 0

Determine a intersecção dos planos α, β e γ

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 183 Ex. 37

Enunciado Determine a intersecção dos planos α, β e γ, tais que:

  1. α: $2x-y+z-1=0$, β: $5x-3y+2z=5$ e γ: $4x-3y+7z=7$
     
  2. α: $x+y-z=0$, β: $x-y+z=0$ e γ: $3x+y-z=0$

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  1.   \[\begin{array}{*{35}{l}}    \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    2x-y+z-1=0  \\    5x-3y+2z=5  \\    4x-3y+7z=7  \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{r}}    -3\times   \\    +  \\   
Pontos pertencentes a um plano dado 0

Pontos pertencentes a um plano dado

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 183 Ex. 36

Enunciado

  1. Averigúe se o ponto $A(-7,-3,-1)$ pertence ao plano de equação $x-2y-3z=2$.
     
  2. Determine as coordenadas de dois pontos do plano de equação $3x-y+4z=10$.

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  1. Como $-7-2\times (-3)-3\times (-1)=2\Leftrightarrow -7+6+3=2\Leftrightarrow 2=2$ (P.V.), o ponto A pertence ao plano dado, pois as suas coordenadas verificam a equação do
Escreva uma equação cartesiana do plano 1

Escreva uma equação cartesiana do plano

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 35

Enunciado

Seja $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ um referencial ortonormado.

Escreva uma equação cartesiana do plano:

  1. que passa pelo ponto $A(3,1,2)$ e é perpendicular a $\vec{u}(3,41)$ ;
     
  2. que contém os pontos $A(3,0,0)$, $B(0,5,0)$ e $C(0,0,4)$;
     
  3. que passa por $A(2,1,5)$ e é paralelo aos vectores $\vec{u}(1,0,4)$  e $\vec{v}(2,-1,3)$ .

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  1. var
Um vector perpendicular a outros dois 0

Um vector perpendicular a outros dois

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 34

Enunciado

Num referencial ortonormado do espaço, indique um vector que seja perpendicular a $\vec{u}(1,4,7)$  e a $\vec{v}(2,-1,5)$ .
Observe que qualquer outro vector nas mesmas condições é colinear com ele.

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