Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento [AB]
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 31
Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento de reta [AB], sendo:
- $A(4,-1,2)$ e $B(2,7,0)$.
- $A(-4,1,7)$ e $B(3,2,-5)$.
-
O plano mediador do segmento de reta [AB] é o lugar geométrico dos pontos $P(x,y,z)$ do espaço, tais que $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{AB}=0$, sendo M o ponto médio de [AB].
Ora, $M(\frac{4+2}{2},\frac{-1+7}{2},\frac{2+0}{2})=(3,3,1)$.
Assim, vem:
$\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{AB}=0 & \Leftrightarrow & (x-3,y-3,z-1).(-2,8,-2)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & -2x+6+8y-24-2z+2=0 \\
{} & \Leftrightarrow & -2x+8y-2z-16=0 \\
\end{array}$Logo, $-2x+8y-2z-16=0$ é uma equação cartesiana do plano mediador de [AB].
- O plano mediador so segmento [AB] é o lugar geométrico dos pontos $P(x,y,z)$ do espaço, tais que $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{AB}=0$, sendo M o ponto médio de [AB].
Ora, $M(\frac{-4+3}{2},\frac{1+2}{2},\frac{7-5}{2})=(-\frac{1}{2},\frac{3}{2},1)$.
Assim, vem:
$\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{AB}=0 & \Leftrightarrow & (x+\frac{1}{2},y-\frac{3}{2},z-1).(7,1,-12)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & 7x+\frac{7}{2}+y-\frac{3}{2}-12z+12=0 \\
{} & \Leftrightarrow & 7x+y-12z+14=0 \\
\end{array}$Logo, $7x+y-12z+14=0$ é uma equação cartesiana do plano mediador de [AB].
