Identifique o conjunto de pontos do plano definidos pela condição

O conjunto dos pontos $P(x,y)$ do plano que verificam a condição $\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BP}=0$ é a circunferência de diâmetro [AB].

Com efeito,

$\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BP}=0 & \Leftrightarrow  & (x,y-9).(x+8,y-2)=0  \\
{} & \Leftrightarrow  & {{x}^{2}}+8x+{{y}^{2}}-11y+18=0  \\
{} & \Leftrightarrow  & {{(x+4)}^{2}}-16+{{(y-\frac{11}{2})}^{2}}-\frac{121}{4}+18=0  \\
{} & \Leftrightarrow  & {{(x+4)}^{2}}+{{(y-\frac{11}{2})}^{2}}=\frac{113}{4}  \\
\end{array}$

Ora:

o centro da circunferência é o ponto médio de [AB], ponto $C(\frac{0-8}{2},\frac{9+2}{2})=(-4,\frac{11}{2})$;

o raio a circunferência é $r=\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{{{8}^{2}}+{{7}^{2}}}=\frac{\sqrt{113}}{2}$.

Tente identificar o lugar geométrico definido pela condição $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{AM}=0$, sendo M o ponto médio de [AB].
Caso não consiga, execute a animação sem ativar “Mostrar lugar geométrico”.
De seguida, verifique a sua suposição.

O conjunto dos pontos $P(x,y)$ do plano que verificam a condição $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{AM}=0$, sendo M o ponto médio de [AB],  é a mediatriz de [AB].

Com efeito,

$\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{AB}=0 & \Leftrightarrow  & (x+4,y-\frac{11}{2}).(-8,-7)=0  \\
{} & \Leftrightarrow  & -8x-32-7y+\frac{77}{2}=0  \\
{} & \Leftrightarrow  & 7y=-8x+\frac{13}{2}  \\
{} & \Leftrightarrow  & y=-\frac{8}{7}x+\frac{13}{14}  \\
\end{array}$

Ora:

o ponto M pertence a esta reta: $\frac{11}{2}=-\frac{8}{7}\times (-4)+\frac{13}{14}\Leftrightarrow \frac{77}{14}=\frac{64}{14}+\frac{13}{14}$ (P.V.);

esta reta é perpendicular à recta AB, pois o declive de uma delas é simétrico do inverso do da outra.