Um vetor perpendicular a outros dois
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 34
Num referencial ortonormado do espaço, indique um vetor que seja perpendicular a $\vec{u}(1,4,7)$ e a $\vec{v}(2,-1,5)$ .
Observe que qualquer outro vetor nas mesmas condições é colinear com ele.
Apliquemos os vetores livres $\vec{u}(1,4,7)$ e $\vec{v}(2,-1,5)$ num ponto A.
Como os vetores não são colineares, então definem um plano $\alpha $.
O vetor pretendido não é mais do que um vetor normal ao plano $\alpha $.
Seja $\vec{w}(a,b,c)$ .
Como $\vec{w}\bot \vec{u}\wedge \vec{w}\bot \vec{v}$ , vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\vec{w}.\vec{u}=0 \\
\vec{w}.\vec{v}=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(a,b,c)(1,4,7)=0 \\
(a,b,c)(2,-1,5)=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a+4b+7c=0 \\
2a-b+5c=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
b=2a+5c \\
a+8a+20c+7c=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow \\
{} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
b=2a+5c \\
a=-3c \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
b=-c \\
a=-3c \\
\end{array} \right. & {} & {} & {} \\
\end{array}\]
Portanto, $\vec{w}=(-3c,-c,c)\,,\,\,c\in \mathbb{R}$ traduz a família de vetores perpendiculares aos vetores dados.
Logo, um vector perpendicular aos vetores dados é, por exemplo, $\overrightarrow{{{w}_{1}}}=(-3,-1,1)$.
