Um vetor perpendicular a outros dois

Apliquemos os vetores livres $\vec{u}(1,4,7)$ e $\vec{v}(2,-1,5)$ num ponto A.

Como os vetores não são colineares, então definem um plano $\alpha $.

O vetor pretendido não é mais do que um vetor normal ao plano $\alpha $.

Seja $\vec{w}(a,b,c)$ .

Como $\vec{w}\bot \vec{u}\wedge \vec{w}\bot \vec{v}$ , vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\vec{w}.\vec{u}=0  \\
\vec{w}.\vec{v}=0  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(a,b,c)(1,4,7)=0  \\
(a,b,c)(2,-1,5)=0  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a+4b+7c=0  \\
2a-b+5c=0  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
b=2a+5c  \\
a+8a+20c+7c=0  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow   \\
{} & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
b=2a+5c  \\
a=-3c  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
b=-c  \\
a=-3c  \\
\end{array} \right. & {} & {} & {}  \\
\end{array}\]

Portanto, $\vec{w}=(-3c,-c,c)\,,\,\,c\in \mathbb{R}$  traduz a família de vetores perpendiculares aos vetores dados.

Logo, um vector perpendicular aos vetores dados é, por exemplo, $\overrightarrow{{{w}_{1}}}=(-3,-1,1)$.