Escreva uma equação cartesiana do plano
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 35
Seja $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ um referencial ortonormado.
Escreva uma equação cartesiana do plano:
- que passa pelo ponto $A(3,1,2)$ e é perpendicular a $\vec{u}(3,41)$ ;
- que contém os pontos $A(3,0,0)$, $B(0,5,0)$ e $C(0,0,4)$;
- que passa por $A(2,1,5)$ e é paralelo aos vetores $\vec{u}(1,0,4)$ e $\vec{v}(2,-1,3)$ .
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Seja $P(x,y,z)$ em ponto genérico do plano $\alpha $.
Como o vetor $\vec{u}(3,4,1)$ é normal ao plano $\alpha $, então $\overrightarrow{AP}\bot \vec{u}$ .
Assim, temos:
$$\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{AP}\bot \vec{u}=0 & \Leftrightarrow & (x-3,y-1,z-2).(3,4,1)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & 3x-9+4y-4+z-2=0 \\
{} & \Leftrightarrow & 3x+4y+z-15=0 \\
\end{array}$$Logo, $3x+4y+z-15=0$ é uma equação do plano pedido.
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Comecemos por considerar um vetor $\vec{n}\bot \alpha $ .
Como os pontos A, B e C pertencem ao plano $\alpha $, então terá de ser $\vec{n}\bot \overrightarrow{AB}\wedge \vec{n}\bot \overrightarrow{AC}$ (por exemplo).
Logo, designando $\vec{n}(a,b,c)$ , temos:
$$\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\vec{n}.\overrightarrow{AB}=0 \\
\vec{n}.\overrightarrow{AC}=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(a,b,c).(-3,5,0)=0 \\
(a,b,c).(-3,0,4)=0 \\
\end{array} \right. \\
{} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-3a+5b=0 \\
-3a+4c=0 \\
\end{array} \right. \\
{} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=\frac{5}{3}b \\
-5b+4c=0 \\
\end{array} \right. \\
{} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=\frac{5}{3}b \\
b=\frac{4}{5}c \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$$Portanto, $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(20,12,15)$ (obtido para $c=15$) é um vetor normal ao plano $\alpha $.
Dado que $\overrightarrow{{{n}_{1}}}\bot \overrightarrow{AP}$, sendo $P(x,y,z)$ um ponto genérico de $\alpha $, vem:
$$\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{{{n}_{1}}}\bot \overrightarrow{AP}=0 & \Leftrightarrow & (20,12,15).(x-3,y,z)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & 20x-60+12y+15z=0 \\
{} & \Leftrightarrow & 20x+12y+15z-60=0 \\
\end{array}$$Logo, $20x+12y+15z-60=0$ é uma equação do plano pedido.
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Como os vetores livres ${\vec{u}}$ e ${\vec{v}}$ são paralelos ao plano pedido ($\alpha $), aplicando-os no ponto $A\in \alpha $ esses vetores pertencerão também ao plano pedido.
Considerando um vetor $\vec{n}\bot \alpha $ , será $\vec{n}\bot \vec{u}\wedge \vec{n}\bot \vec{v}$ .
Logo, designando $\vec{n}(a,b,c)$ , temos:
$$\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\vec{n}.\vec{u}=0 \\
\vec{n}.\vec{v}=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(a,b,c).(1,0,4)=0 \\
(a,b,c).(2,-1,3)=0 \\
\end{array} \right. \\
{} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a+4c=0 \\
2a-b+3c=0 \\
\end{array} \right. \\
{} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=-4c \\
-8c-b+3c=0 \\
\end{array} \right. \\
{} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=-4c \\
b=-5c \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$$Portanto, $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(-4,-5,1)$ (obtido para $c=1$) é um vetor normal ao plano $\alpha $.
Dado que $\overrightarrow{{{n}_{1}}}\bot \overrightarrow{AP}$, sendo $P(x,y,z)$ um ponto genérico de $\alpha $, vem:
$$\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{{{n}_{1}}}\bot \overrightarrow{AP}=0 & \Leftrightarrow & (-4,-5,1).(x-2,y-1,z-5)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & -4x+8-5y+5+z-5=0 \\
{} & \Leftrightarrow & 4x+5y-z-8=0 \\
\end{array}$$Logo, $4x+5y-z-8=0$ é uma equação do plano pedido.
me ajudou bastante
valeu gente!!!