Determine a intersecção dos planos α, β e γ
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 183 Ex. 37
Enunciado Determine a intersecção dos planos α, β e γ, tais que:
- α: $2x-y+z-1=0$, β: $5x-3y+2z=5$ e γ: $4x-3y+7z=7$
- α: $x+y-z=0$, β: $x-y+z=0$ e γ: $3x+y-z=0$
Resolução
- Resolvendo o sistema, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}} \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y+z-1=0 \\ 5x-3y+2z=5 \\ 4x-3y+7z=7 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{r}} -3\times \\ + \\ + \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y+z=1 \\ 5x-3y+2z=5 \\ 4x-3y+7z=7 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \begin{array}{*{35}{r}} {} \\ -2\times \\ + \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y+z=1 \\ -x-z=2 \\ -2x+4z=4 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow \\ {} & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-y+z=1 \\ -x-z=2 \\ 6z=0 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=-5 \\ x=-2 \\ z=0 \\ \end{array} \right. & {} \\ \end{array}\]
A intersecção dos três planos é o ponto de coordenadas $(-2,-5,0)$.
- Resolvendo o sistema, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}} \begin{array}{*{35}{r}} + \\ 1\times \\ + \\ \end{array}\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y-z=0 \\ x-y+z=0 \\ 3x+y-z=0 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+y-z=0 \\ 2x=0 \\ 4x=0 \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=0 \\ y=z \\ \end{array} \right. \\ \end{array}\]
A intersecção dos três planos é a recta definida por: $x=0\wedge y=z$.
