A Casinha da Matemática Blog
Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 70 Ex. 3
Enunciado
Considere a seguinte afirmação:
“A sucessão de termo geral ${c_n} = {\left( { – 1} \right)^n}{n^3}$ é um infinitamente grande.”
Averigue se esta afirmação é verdadeira ou falsa.
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Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 70 Ex. 2
Enunciado
Seja $\left( {{b_n}} \right)$ uma sucessão tal que ${b_n} = \frac{{3 – 4n}}{2}$.
- Prove que a sucessão é um infinitamente grande negativo, usando a definição e sem usar a definição.
- Determine a menor ordem a partir da qual os termos da sucessão são inferiores a $ – 500$.
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Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 70 Ex. 1
Enunciado
Considere a sucessão de termo geral ${a_n} = {n^2} + 1$.
Prove que a sucessão é um infinitamente grande positivo:
- usando a definição;
- sem usar a definição.
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Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 60 Ex. 11
Enunciado
A sucessão de termo geral ${u_n} = n – {\left( { – 1} \right)^n}$ é limitada? E monótona?
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Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 59 Ex. 6
Enunciado
Estude a monotonia da sucessão definida por recorrência:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{r_1} = 1} \\
{{r_n} = \frac{{{r_{n – 1}}}}{2},n \geqslant 2}
\end{array}} \right.\]
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Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 57 Ex. 11
Enunciado
Mostre que é limitada a sucessão de termo geral ${u_n} = {\left( { – \frac{1}{5}} \right)^n}\frac{{4n{{\left( { – 1} \right)}^n} – 8}}{{5n + 3}}$.
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Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 57 Ex. 8
Enunciado
A sucessão de termo geral ${u_n} = \operatorname{sen} \left( {\frac{{n\pi }}{2}} \right)$ é limitada? E monótona?
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Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 56 Ex. 4
Enunciado
Estude a monotonia da sucessão definida por recorrência:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{b_1} = 1} \\
{{b_n} = 1 – {b_{n – 1}},n \geqslant 2}
\end{array}} \right.\]
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Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 53 Ex. 11
Enunciado
Em relação à sucessão de termo geral ${a_n} = 3n + 5$, prove que é minorada e não é limitada.
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Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 53 Ex. 9
Enunciado
Dada a sucessão de termo geral ${d_n} = \frac{{3n – 5}}{{n + 2}}$, prove que a sucessão é limitada.
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Sucessões reais: Aleph 11 - Volume 3 Pág. 51 Ex. 8
Enunciado
Encontre uma sucessão $\left( {{u_n}} \right)$ cujo termo geral seja da forma ${u_n} = {\left( {n – A} \right)^2}$, com $A$ um número real, tal que:
- $\left( {{u_n}} \right)$ seja monótona;
- $\left( {{u_n}} \right)$ não seja monótona.
Prove a sua conjetura.
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Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 177 Ex. 11
Enunciado
Dois automóveis circulam à mesma velocidade, em estradas perpendiculares, em direção a um cruzamento.
Um deles encontra-se a $5$ km do cruzamento e o outro a $6$ km.
Representa graficamente a função que dá a distância entre os dois automóveis à medida que se aproximam do cruzamento.
Utilizando a calculadora gráfica, determina quando é que a distância entre os automóveis é mínima.
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Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 177 Ex. 10
Enunciado
Considere uma folha de papel retangular de comprimento 24 unidades e largura 18 unidades.
Dobramos a folha de papel de modo que o vértice A coincida com o vértice C e vincamos a folha.
Qual é o comprimento do vinco?
- Sugestão: Comece por dobrar uma folha de papel retangular e descubra as relações entre os vários elementos geométricos.
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Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 174 Ex. 16
Enunciado
Considere o triângulo da figura inscrito numa semicircunferência de centro C.
- Justifique que o triângulo é retângulo.
- Exprima a área do triângulo em função do raio e do cateto de comprimento $x$.
- Qual deve ser o raio da circunferência para que o triângulo tenha área $10$ e um cateto seja duplo do outro?
- Se o raio for igual a $5$, qual é a maior área do triângulo inscrito?
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Função inversa: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 174 Ex. 15
Enunciado
A função $f$ tem domínio $\left[ {0, + \infty } \right[$ e é definida por $f\left( x \right) = 4{x^2} + 1$.
- Esboce o gráfico de $f$ e indique o contradomínio da função.
- Explique porque existe inversa de $f$ e determine uma expressão para ${f^{ – 1}}\left( x \right)$.
- Sabendo que $g$ é outra função cujo domínio é $\left[ {0, + \infty } \right[$ e é definida por $g\left( x \right) = \sqrt {x + 6} $,
…
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Funções com radicais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 174 Ex. 12
Enunciado
Simplifica as seguintes expressões com radicais:
- ${ – \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[2]{2}}$
- $\frac{{\sqrt {45} }}{{\sqrt {500} }} – \sqrt {80} $
- $5\sqrt[3]{{16}} – 3\sqrt[3]{{54}} \times \sqrt[3]{5}$
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