A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

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Mostre que as funções são iguais 0

11.º Ano / Aplicando / Operações com funções

Mostre que as funções são iguais

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 139 Ex. 14

Enunciado

Mostre que as funções seguintes são iguais.

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {\begin{array}{*{20}{c}}
  {f:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3,3} \right\} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to \frac{{x – 3}}{{{x^2} – 9}}}
\end{array}}&{}&{\text{e}}&{}&{\begin{array}{*{20}{c}}
  {g:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3,3} \right\} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to \frac{1}{{x + 3}}}
\end{array}}
\end{array}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {\begin{array}{*{20}{c}}…

As funções de Heaviside e rampa 0

11.º Ano / Aplicando / Funções definidas por ramos / Operações com funções

As funções de Heaviside e rampa

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 139 Ex. 12

Enunciado

 As funções de Heaviside e rampa são definidas, respetivamente, por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {H\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  0& \Leftarrow &{x < 0} \\
  {\frac{1}{2}}& \Leftarrow &{x = 0} \\
  1& \Leftarrow &{x > 0}
\end{array}} \right.}&{\text{e}}&{R\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  0& \Leftarrow &{x \leqslant 0} \\ …

Considere as funções $f$ e $g$ 0

11.º Ano / Aplicando / Função composta

Considere as funções $f$ e $g$

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 138 Ex. 10

Enunciado

Considere as funções $f$ e $g$ definidas por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = \frac{2}{{x – 1}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{1}{{x + 3}}}
\end{array}\]

  1. Determine o domínio de cada uma delas.
     
  2. Caracterize as funções $f \circ g$, $g \circ f$ e $f \circ f$.

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{c}}…

0

11.º Ano / Aplicando / Funções definidas por ramos

A função de Heaviside

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 138 Ex. 9

Enunciado

Oliver Heaviside (Londres, 18 de maio de 1850 — Torquay, 3 de fevereiro de 1925) foi um matemático inglês.

A função de Heaviside, muito usada na Física e na Engenharia, é definida por: \[H\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  0& \Leftarrow &{x < 0} \\
  {\frac{1}{2}}& …

Caracterize as funções 0

11.º Ano / Aplicando / Função composta / Operações com funções

Caracterize as funções

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 138 Ex. 8

Enunciado

Considere as funções definidas por:

 \[\begin{array}{*{20}{l}}
  {\begin{array}{*{20}{l}}
  {f:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to \frac{1}{{{x^2}}}}
\end{array}}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
  {g:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to x + 1}
\end{array}}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
  {h:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ {0,1} \right\} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to \frac{1}{{{x^2} – x}}}
\end{array}}
\end{array}\]…

Dadas as funções $f$ e $g$ 0

11.º Ano / Aplicando / Função composta

Dadas as funções $f$ e $g$

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 137 Ex. 7

Enunciado

Dadas as funções $f$ e $g$ definidas por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = 2x + 3}&{\text{e}}&{g\left( x \right) =  – {x^2} + 5}
\end{array}\] determine:

  1. $\left( {f \circ f} \right)\left( 1 \right)$
     
  2. $\left( {g \circ g} \right)\left( 2 \right)$
     
  3. $\left( {f \circ g} \right)\left( 2 \right)$
     
  4. $\left(
…
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11.º Ano / Aplicando / Funções definidas por ramos

O Triatlo do Homem de Ferro

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 137 Ex. 6

Enunciado

Gordon Haller venceu a primeira competição do Homem de Ferro em 1978

O Triatlo do Homem de Ferro é uma prova que é constituída por três partes: um percurso de natação com $3,9$ km, seguido de um percurso de ciclismo com $180$ km e, por fim, uma …

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11.º Ano / Aplicando / Funções definidas por ramos

Gráfico de $f$

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 137 Ex. 5

Enunciado

Considere a função $f$, cuja representação gráfica se apresenta na figura ao lado.

  1. Encontre uma expressão que permita definir a função $f$.
     
  2. Determine, algebricamente, a função definida por $g\left( x \right) = f\left( {x + 2} \right) + 1$.
    Esboce o gráfico de $g$.
     
  3. Transforme o gráfico
…
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11.º Ano / Aplicando / Funções definidas por ramos

Considere a função cujo gráfico está representado na figura

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 136 Ex. 3

Enunciado

Considere a função $f$, de domínio $\left] { – \infty , – 1} \right[ \cup \left[ {1, + \infty } \right[$, cujo gráfico está representado na figura.

Determine um expressão que defina a função.

Resolução >> Resolução

O troço da esquerda é um arco de parábola, a …

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11.º Ano / Aplicando / Função composta

Determine $\left( {f \circ g} \right)\left( 2 \right)$

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 131 Ex. 14

Enunciado

Seja $f$ a função cujo gráfico está representado ao lado.

Seja $g$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por: $g\left( x \right) =  – 2x + 1$.

Determine $\left( {f \circ g} \right)\left( 2 \right)$.

ERRATA: Na figura, no eixo $Ox$ onde se lê “1” deve …

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11.º Ano / Aplicando / Função composta

Gráfico de uma função $g$

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 131 Ex. 13

Enunciado

Na figura está representado parte do gráfico de uma função quadrática $g$.

Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f\left( x \right) = \left| x \right|$.

Qual é o valor de $\left( {f \circ g} \right)\left( 3 \right)$?

Qual é o valor de $\left( {g …

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11.º Ano / Aplicando / Operações com funções

Uma função quadrática e uma função afim

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 127 Ex. 12

Enunciado

Na figura estão representadas:

  • parte do gráfico de uma função quadrática $f$;
     
  • parte do gráfico de uma função afim $g$.

Determine o domínio de cada uma das seguintes funções: $\frac{f}{g}$ e $\frac{g}{f}$.

Resolução >> Resolução

\[{D_{\frac{f}{g}}} = {D_f} \cap {D_g} \cap \left\{ {x \in \mathbb{R}:g\left( x \right) …

Considere as funções 0

11.º Ano / Aplicando / Operações com funções

Considere as funções

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 127 Ex. 11

Enunciado

Considere as funções definidas por:

 

\[\begin{array}{*{20}{r}}
  {\begin{array}{*{20}{l}}
  {f:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to {x^2}}
\end{array}}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
  {g:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to \frac{1}{{x + 1}}}
\end{array}}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
  {h:}&{\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \\
  {}&{x \to {x^2} – x}
\end{array}}
\end{array}\]

Caracterize as seguintes funções:

\[\begin{array}{*{20}{l}}…

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11.º Ano / Aplicando / Operações com funções

Três funções: $f$, $g$ e $\frac{f}{g}$

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 125 Ex. 10

Enunciado
Sejam $f$ e $g$ duas funções definidas por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {f\left( x \right) = {x^2} – 4}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = x + 2}
\end{array}\]

Caracterize a função $\frac{f}{g}$ e estude o seu sinal, relacionando-o com o sinal quer da função $f$ quer da função $g$.

Resolução >> Resolução…

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11.º Ano / Aplicando / Operações com funções

Duas funções, $s$ e $t$

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 122 Ex. 9

Enunciado

Na figura estão representadas graficamente as funções $s$ e $t$.

Determine:

  1. $s\left( 0 \right)$
     
  2. $t\left( 5 \right)$
     
  3. $\left( {s + t} \right)\left( 3 \right)$
     
  4. $\left( {s – t} \right)\left( 3 \right)$

Resolução >> Resolução

  1. $s\left( 0 \right) = 2$
     
  2. $t\left( 5 \right) = 0$
     
  3. $\left( {s +
…
Verifique se são iguais as funções 0

11.º Ano / Aplicando / Operações com funções

Verifique se são iguais as funções

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 118 Ex. 8

Enunciado

Verifique se são iguais os seguintes pares de funções reais de variável real:

  1. \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f\left( x \right) = \frac{{2 – x}}{{{x^2} – 4}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{ – 1}}{{x + 2}}}
    \end{array}\]
  2. \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f\left( x \right) = \frac{x}{{x – 1}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{{x^2} – x}}{{{{\left( {x
…
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11.º Ano / Aplicando / Funções definidas por ramos

A continuidade da função

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 116 Ex. 7

Enunciado

Com a ajuda da calculadora gráfica, estude a continuidade das seguintes funções de acordo com os valores que o parâmetro real $m$ toma.

\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {h\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {\frac{m}{x}}& \Leftarrow &{0 < x \leqslant 2} \\
  { – {x^2} + 10x + 3}& \Leftarrow &{x …

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11.º Ano / Aplicando / Funções definidas por ramos

Defina a função por ramos

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 116 Ex. 6

Enunciado

Representação gráfica da função $f$

Considere uma função $f$, real de variável real, de domínio $\mathbb{R}$, cuja representação gráfica se apresenta ao lado.

  1. Complete a tabela:
     
    $x$        
    $f\left( x \right)$ $0$ $1$ $3$ $5$

     

  2. Determine a equação reduzida de cada uma das retas: AB, BC e
…
0

11.º Ano / Aplicando / Funções definidas por ramos

Defina sem usar o símbolo de módulo

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 116 Ex. 5

Enunciado

Defina, sem usar o símbolo de módulo, e represente graficamente, cada uma das seguintes funções:

  1. $f(x) = \left| {x – 1} \right| + 2$
     
  2. $g(x) =  – \left| {3{x^2} – 2x – 1} \right|$
     
  3. $h(x) =  – \left| {x\left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right)}
…
0

11.º Ano / Aplicando / Derivadas

Uma bola desce um plano inclinado

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 64 Ex. 5

Enunciado

Uma bola desce um plano inclinado, onde foi espalhado um gel que dificulta o movimento.

A distância, $d$, em centímetros, da bola ao topo do plano inclinado em função do tempo, $t$, em segundos, é dada por: \[d\left( t \right) = 1,3{t^2} – t + 2\]

  1. Represente
…
Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação 0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 53 Ex. 2

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação seguinte: \[{\frac{{2x + 4}}{{x – 3}} = \frac{{x – 2}}{{x + 5}}}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{2x + 4}}{{\mathop {x{\rm{ }} – {\rm{ }}3}\limits_{\left( {x + 5} \right)} }} = \frac{{x – 2}}{{\mathop {x{\rm{ }} + {\rm{ }}5}\limits_{\left( {x – 3} \right)} }}}& …

0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Concentração do composto

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 53 Ex. 1

Enunciado

Juntou-se ácido puro a $30$ gramas de uma substância $30$% ácida.

Seja $x$ o número de gramas de ácido puro adicionado.

  1. Determine uma expressão que represente a concentração do composto formado.
     
  2. Represente graficamente a função da alínea anterior.
     
  3. Entre que valores varia a função?
     
  4. Qual a quantidade
…
Determine o conjunto solução de cada uma das condições 0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Determine o conjunto solução de cada uma das condições

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 52 Ex. 12

Enunciado

Considere a função $f$ definida por: \[f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} – 3x + 2}}\]

Determine o conjunto solução de cada uma das inequações:

  1. $f\left( x \right) > 0$
     
  2. $f\left( {x – 2} \right) > 0$

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f\left( x \right) > 0}& \Leftrightarrow &{\frac{x}{{{x^2}
…
0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Considera a função $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 52 Ex. 10

Enunciado

Considera a função $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$, de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

  1. Que transformações geométricas se devem efetuar a partir do gráfico de $g$ para se obter o gráfico da função \[f\left( x \right) = \frac{{x – 1}}{{2x – 3}}\] de domínio $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{2}}
…
0

11.º Ano / Aplicando / Funções racionais

Três funções

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 51 Ex. 9

Enunciado

  1. Represente graficamente, no mesmo referencial, as seguintes funções:
    \[\begin{array}{*{20}{r}}
      {f\left( x \right) = x + 1}&{\text{;}}&{g\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{x}} \right)}&{\text{e}}&{h\left( x \right) = \frac{1}{{f\left( x \right)}}}
    \end{array}\]
  2. Determine o domínio de cada uma das funções anteriores.
     
  3. Compare os três gráficos.
    Quais os pontos dos gráficos
…