A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Uma esfera

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 30 Ex. 3

Enunciado

A área da superfície de uma esfera é 256π cm2.
Qual é o valor exato do seu volume?

Resolução >> Resolução

Comecemos por determinar o comprimento, em cm, do raio da esfera:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{SE}} = 256\pi }& \Leftrightarrow &{4\pi {r^2} = 256\pi }\\{}& \Leftrightarrow &{r = …

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Uma esfera, um cone e um cilindro

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 30 Ex. 2

Enunciado

Considera a esfera, o cilindro e o cone da figura.

Calcula:

  1. a área da superfície esférica;
  2. a área lateral do cilindro;
  3. o volume de cada um dos sólidos;
  4. a relação entre o volume do cone e o volume do cilindro.

Resolução >> Resolução

  1. A área da superfície
…
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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Uma esfera

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 29 Tarefa 6

Enunciado

Na figura está representada uma esfera de raio r e centro O.
A parte sombreada representa uma secção plana nela determinada por um plano perpendicular a [OP] e que contém os pontos B e C.
Os pontos A e B dividem o segmento …

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Uma cavidade num cilindro

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 28 Ex. 6

Enunciado

Um cilindro reto com 40 cm de altura apresenta uma cavidade com a forma de um cone reto cuja base é concêntrica com a base do cilindro e com metade da altura deste.

Sabendo que o raio da base do cilindro mede 25 cm e que supera …

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Um sólido constituído por um cilindro e dois cones

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 28 Ex. 5

Enunciado

Um sólido é formado por um cilindro e por dois cones retos com a mesma altura e cuja base é a base do cilindro.

O cilindro tem 18 cm de altura e 1152π cm3 de volume. A área da superfície do sólido é 560π cm2…

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Outro cone reto

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 28 Ex. 4

Enunciado

Um cone reto com 28,5 cm de altura tem 13718π cm3 de volume.

Calcula:

  1. o valor exato da área da superfície do cone;
  2. a medida da amplitude do setor circular que se obtém quando se planifica o cone.

Resolução >> Resolução

Comecemos por determinar uma expressão …

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Um cone reto

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 28 Ex. 3

Enunciado

Um cone reto tem 1256 cm2 de área de superfície e a sua geratriz é tripla do raio da base.

Qual é a medida do comprimento, arredondado às unidades:

  1. o raio da base do cone?
  2. da geratriz do cone?
  3. da altura do cone?

Resolução >> Resolução…

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

A superfície lateral de um cone

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 28 Ex. 1

Enunciado

Determina a área da superfície lateral de um cone com 10 cm de geratriz e 4 cm de raio da base.

Resolução >> Resolução

A superfície lateral do cone é um setor circular de raio [BV], cuja área é diretamente proporcional ao comprimento do arco BAB’:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{A_S}}}{{2\pi …

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Um prisma triangular

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 25 Ex. 6

Enunciado

Na figura está representado um prisma triangular.

Calcula:

  1. a área da sua superfície;
  2. o seu volume;
  3. o volume de uma pirâmide com a mesma base e a mesma altura do prisma.

Resolução >> Resolução

  1. A área da superfície do prima é 156 cm2:
    \[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_T}}& =
…
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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Uma pirâmide quadrangular

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 25 Ex. 4

Enunciado

A área da base de uma pirâmide quadrangular regular é igual a 25 cm2.

A altura de cada face lateral é 4 cm e a altura da pirâmide é, aproximadamente, 3,1 cm.

Determina:

  1. o volume da pirâmide;
  2. a área da superfície da pirâmide.

Resolução …

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Uma pirâmide triangular regular

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 25 Ex. 3

Enunciado

O perímetro da base de uma pirâmide triangular regular (pirâmide cuja base é um triângulo equilátero) é igual a 24 cm. A altura da face lateral da pirâmide é igual ao dobro da aresta da base e a altura da base mede aproximadamente 6,9 cm.

Determina:…

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Um prisma quadrangular regular

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 25 Ex. 2

Enunciado

Considera um prisma quadrangular regular cuja base tem 12 cm de perímetro e a medida da aresta lateral é a terça parte do perímetro da base.

  1. Calcula a área da sua superfície lateral.
  2. Determina o volume do prisma.

Resolução >> Resolução

  1. Como o perímetro da base é
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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Sobre a Lua e a Terra

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 22 Ex. 4

Enunciado

O diâmetro da Lua é aproximadamente um quarto do diâmetro da Terra.

Qual é a razão entre o volume da Lua e o da Terra?

Resolução >> Resolução

Sabe-se que \(\frac{{{d_{Lua}}}}{{{d_{Terra}}}} \approx \frac{1}{4} = r\).

Portanto, será: 

\[\frac{{{V_{Lua}}}}{{{V_{Terra}}}} \approx {\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} = \frac{1}{{64}} = {r^3}\]

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

O volume de um lápis

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 22 Ex. 3

Enunciado

Calcula o volume do lápis representado a seguir.

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Comecemos por determinar a altura do cone, por aplicação do Teorema de Pitágoras: \(h = \sqrt {{{1,5}^2} – {{0,35}^2}} = \sqrt {2,1275} \) cm.

Em centímetros cúbicos e com aproximação às centésimas, o volume do lápis …

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Duas esculturas

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 22 Ex. 2

Enunciado

Observa as esculturas.

  1. Determina um valor arredondado às décimas do volume de cada uma delas.
  2. Qual é a quantidade de ferro gasta em cada uma das esculturas, sabendo que são maciças e que o ferro usado tem uma massa volúmica de 7,8 g/cm3.

Resolução >>…

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Dois cones com mesma base

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 21 Ex. 7

Enunciado

Na figura está representado um sólido decomponível em dois cones com a mesma base (o círculo de diâmetro [AC]).

O quadrilátero [ABCD] é um losango de 72 cm2 de área, cuja diagonal menor ([AC]) mede metade da diagonal maior ([BD]).

  1. Determina a medida do comprimento das
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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Um tronco de cone

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 21 Ex. 6

Enunciado

Considera a figura.

  1. Qual é o valor de x?
  2. Calcula, apresentando o resultado arredondado às centésimas, o volume:
    a) do cone maior;
    b) do cone menor;
    c) do troco de cone.

Resolução >> Resolução

De acordo com os dados assinalados na figura, tem-se: \(x = 20 – …

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Um cone e um cubo

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 21 Ex. 4

Enunciado

Considera um cone reto inscrito num cubo (a base do cone está inscrita na face [ABCD] do cubo e o vértice do cone pertence à face [EFGH] do cubo) com 8 cm de aresta.

Qual é, em cm3, o volume, arredondado às unidades, do sólido …

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

A altura de um cone

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 21 Ex. 3

Enunciado

O volume de um cone é 942 cm3 e o raio da base mede 10 cm.

Quanto mede a altura o cone?
Apresenta esse valor em centímetros e arredondado às unidades.

Resolução >> Resolução

Seja $h$, a altura do cone, em cm.

\[\begin{array}{*{20}{l}}{V = 942}& \Leftrightarrow …

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Um copo com o formato de um cone

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 21 Ex. 1

Enunciado

Um copo, com o formato de um cone, tem 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura.

Qual é a capacidade, em cl, desse copo?
Apresenta esse valor arredondado às unidades.

Resolução >> Resolução

Calculemos, em cm3, o volume de um cone com essas …

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Ciência e Tecnologia / Matemática / Vídeo

John von Neumann, prophète du 21ème siècle

Le portrait saisissant d’un mathématicien de génie qui fut à l’origine de théories fondamentales et de leurs applications, de la bombe atomique à la révolution numérique

Peu connu du grand public, le mathématicien américano-hongrois John von Neumann (1903-1957) a pourtant élaboré des théories qui ont définitivement changé le cours de l’humanité. Après avoir croisé Robert Oppenheimer et Werner Heisenberg au cours de ses années d’études à l’université allemande de Göttingen, il s’installe aux États-Unis au début …

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Astronomia / Ciência e Tecnologia / Vídeo

Copernicus, Brahe & Kepler: Three Great Astronomers

A documentary produced by Eugenides Foundation and directed by Panos Anestis

The lives and adventures of Copernicus, Brahe and Kepler take place in an exciting era, when a new vision of the world was born, through the ashes of the stars! These great astronomers changed once and for all, the way people looked at the skies!

The first official screening …

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Ciência e Tecnologia / Vídeo

Newton: The Force of God

The first Greek docudrama regarding Sir Isaac Newton's phenomenal works and mysterious personality

The dying Sir Isaac Newton recounts the major events of his life to his faithful friend John Conduitt: the political context, the natural philosophy, the religion, the enemies, the losses and victories that laid the foundations of the myth of one of the most eminent natural philosophers of all …

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Astronomia / Ciência e Tecnologia / Vídeo

Galileo: Fighting in the Dawn of Modern Science

The Eugenides Foundation pays its own tribute to the great mathematician and astronomer

Galileo Galilei is one of the most important figures in the history of science. The Eugenides Foundation pays its own tribute to the great mathematician and astronomer with the creation of the documentary “Galileo: The Battle in the Dawn of Modern Science“.

Renaissance Italy was one of the …

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Ciência e Tecnologia / Matemática / Vídeo

From Königsberg bridges to genome sequencing

A science documentary telling a story of a single mathematical problem that makes its way to the fundamental theory of modern science

In 1735, the bright mathematician Leonard Euler presented his solution of the famous problem of Seven Bridges of Königsberg. His notable solution has sparked a whole new branch of mathematics – the graph theory, which is now widely used in many fields of science.

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