A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Um prisma hexagonal

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 16 Ex. 4

Enunciado

Um prisma reto tem por base um hexágono regular, cujo lado mede 10 cm.

Determina o volume desse prisma, sabendo que tem 80 cm de altura.
Apresenta o resultado arredondado às centésimas.

Resolução >> Resolução

Como se sabe, o hexágono regular é decomponível em seis triângulos equiláteros …

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Um cone de revolução

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 11 Ex. 4

Enunciado

Um triângulo retângulo [ABC], em que o cateto [AB] está contido no plano \(\beta \), rodou em torno do outro cateto gerando um cone, como se mostra na figura.

Sabendo que \(\overline {AC} = 4\) cm e que \(\overline {AB} = 3\) cm, determine a distância do …

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Uma pirâmide quadrangular regular

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 11 Ex. 3

Enunciado

Considera a seguinte pirâmide quadrangular regular [ABCDV].

Sabemos que:

  • a área de cada face lateral é 60 cm2;
  • o comprimento da altura de cada face lateral é 10 cm;
  • V’ é a projeção ortogonal de V (vértice da pirâmide) no plano ABC.

Calcula a distância …

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9.º Ano / Aplicando / Distâncias, áreas e volumes de sólidos

Qual é a distância do ponto P ao plano \(\alpha \)

Distâncias, áreas e volumes de sólidos: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 11 Ex. 2

Enunciado

O ponto P’ é a projeção ortogonal do ponto P no plano \(\alpha \).
A é um ponto do plano \(\alpha \), distinto de P’.

A distância do ponto P ao ponto A é 50 cm e a distância do ponto P’ ao ponto A é 14 …

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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Na figura está representada uma circunferência

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 152 Ex. 3

Enunciado

Na figura está representada uma circunferência de centro no ponto O.

Sabe-se que:

  • Os pontos A, B, C, D e E pertencem à circunferência;
  • [AD] é um diâmetro da circunferência;
  • O ponto P é o ponto de interseção dos segmentos de reta [AC] e [BD];
  • \(C\widehat AD
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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Uma circunferência, um triângulo e um quadrado

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 151 Ex. 7

Enunciado

Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O. Estão também representados o triângulo [AEF] e o quadrado [ABCD], cujos vértices pertencem à circunferência.

  1. Identifica, usando as letras da figura, dois pontos pertencentes à mediatriz do segmento de reta [BD].
  2. Sabe-se que a amplitude do
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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Uma circunferência e dois triângulos

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 149 Ex. 4

Enunciado

Na figura, estão representados uma circunferência de centro no ponto O e os triângulos [ABC] e [CDE].

Sabe-se que:

  • os pontos A, B e C pertencem à circunferência;
  • [BC] é um diâmetro da circunferência;
  • o triângulo [CDE] é retângulo em E;
  • os triângulos [ABC] e [CDE] são
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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Na figura está representada uma circunferência

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 149 Ex. 3

Enunciado

Na figura está representada uma circunferência.

Sabe-se que:

  • [AC] é um diâmetro de comprimento 15;
  • B é um ponto da circunferência.
  • \(\overline {AB} = 12\)
  1. Justifica que o triângulo [ABC] é retângulo em B.
  2. Calcula a área da região sombreada a laranja na figura.
    Apresenta os cálculos
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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Um quadrilátero inscrito numa circunferência

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 145 Ex. 18

Enunciado

Um quadrilátero [ABCD] está inscrito numa circunferência.
Dois dos seus ângulos internos consecutivos têm, respetivamente, 56 e 112 graus de amplitude.

Quais são as medidas das amplitudes dos outros dois ângulos internos do quadrilátero?

Resolução >> Resolução

A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa

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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Um hexágono regular inscrito numa circunferência

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 145 Ex. 16

Enunciado

Desenha um hexágono regular inscrito numa circunferência e os raios correspondentes aos extremos de cada um dos lados do hexágono.

  1. Classifica cada um dos triângulos obtidos.
  2. Que relação existe entre o comprimento do lado do hexágono e o comprimento do raio da circunferência circunscrita ao hexágono?
  3. Se
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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Um polígono regular tem 25 lados

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 145 Ex. 12

Enunciado

Um polígono regular tem 25 lados.

  1. Qual é a soma das amplitudes dos seus ângulos internos?
  2. Qual é a amplitude de cada ângulo interno do polígono?
  3. Qual é a soma das amplitudes dos seus ângulos externos?

Resolução >> Resolução

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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Numa circunferência com 12 cm de raio está inscrito um quadrado

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 145 Ex. 11

Enunciado

Numa circunferência com 12 cm de raio está inscrito um quadrado.

Determina:

  1. o perímetro do círculo;
  2. a área do círculo;
  3. a área do quadrado;
  4. a área do setor circular cujo ângulo ao centro tem 90 graus de amplitude.

Resolução >> Resolução

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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Um ângulo de vértice no interior de um círculo

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 145 Ex. 10

Enunciado

Na figura, \(\overparen{AD} + \overparen{BC} = 260^\circ \).

Determina a amplitude do ângulo AVB.

Resolução >> Resolução

Tendo em consideração que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus, vem:

\[A\widehat VB = 180^\circ – \left( {B\widehat AC + A\widehat …

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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Um ângulo de vértice exterior a um círculo

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 144 Ex. 9

Enunciado

Sabendo que \(\overparen{AB} = 30^\circ \) e \(\overparen{CD} = 90^\circ \), determina a amplitude do ângulo CPD.

Resolução >> Resolução

Tendo em consideração que o ângulo CAD é um ângulo externo do triângulo [ADP], temos:

\[C\widehat PD = C\widehat AD – A\widehat DP = \frac{{\overparen{CD}}}{2} – \frac{{\overparen{AB}}}{2} …

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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

A reta BC é tangente à circunferência

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 144 Ex. 8

Enunciado

A reta BC é tangente à circunferência de centro O.

Quais são os valores das medidas de amplitude x, y e z, dos ângulos assinalados?

Resolução >> Resolução

Tendo em consideração que a amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco compreendido …

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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Determina o valor de x em cada caso

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 144 Ex. 7

Enunciado

Determina o valor de x em cada caso.

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[x = \frac{{\overparen{AB}}}{{360^\circ }} \times {P_\bigcirc } = \frac{{2 \times 45^\circ }}{{360^\circ }} \times 2 \times \pi \times 5 = \frac{{5\pi }}{2}\]
  2.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\overparen{AB}}}{{360^\circ }} = \frac{{10\pi }}{{{P_\bigcirc }}}}& \Leftrightarrow &{\frac{{{\rm{144}}^\circ }}{{360^\circ }} = \frac{{10\pi }}{{2\pi \times
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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Área de um segmento de círculo

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 144 Ex. 6

Enunciado

Na figura, o círculo de centro O tem \(400\pi \) cm2 de área e os raios traçados são perpendiculares.

Determina a área, arredondada às décimas, do segmento circular colorido.

Resolução >> Resolução

Comecemos por determinar o comprimento do raio do círculo: \(r = \sqrt {\frac{{400\pi }}{\pi …

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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

A área de um setor circular

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 144 Ex. 5

Enunciado

Determina a área de um setor circular, sabendo que o arco que lhe corresponde mede \(22\pi \) cm e que a circunferência tem 40 cm de raio.

Resolução >> Resolução

As áreas dos setores circulares e os comprimentos dos arcos são diretamente proporcionais, logo tem-se:

\[\frac{{{A_\bigcirc }}}{{{P_\bigcirc …

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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Um setor circular…

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 144 Ex. 4

Enunciado

Considera a figura ao lado.

  1. Qual é o trajeto mais longo: o vermelho ou o azul? Justifica.
  2. Compara as áreas cor de laranja e amarela.
    Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolução >> Resolução

  1. Em centímetros, os comprimentos dos trajetos são os seguintes:
    \[\begin{array}{*{20}{l}}{{T_{Azul}} = \frac{{120^\circ }}{{360^\circ
…
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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Determina x e y, em cada caso

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 143 Ex. 9

Enunciado

Determina x e y, em cada caso.

Resolução >> Resolução

  1. Tendo em consideração que a soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência é um ângulo raso, vem:
    \[x = B\widehat AD = 180^\circ – B\widehat CD = 180^\circ – 110^\circ = 70^\circ \]

    Alternativa

…
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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Desenha um dodecágono regular

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 143 Ex. 8

Enunciado

Traça uma circunferência com 4 cm de raio e desenha um dodecágono (12 lados) regular inscrito na circunferência.

Resolução >> Resolução

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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Qual é a área da parte colorida da figura?

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 143 Ex. 7

Enunciado

O quadrado [ABCD] tem 4 cm de lado e está inscrito numa circunferência de centro O.

Qual é a área da parte colorida da figura?
Apresenta o resultado arredondado às décimas.
Mostra como chegaste à tua resposta.

Resolução >> Resolução

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo …

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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Quantos lados tem o polígono regular?

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 143 Ex. 6

Enunciado

Determina quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo interno mede:

  1. 140 graus
  2. 135 graus

Resolução >> Resolução

A soma das amplitudes, em graus, dos ângulos internos de um polígono convexo com \(n\) lados é igual a \({S_i} = \left( {n – 2} \right) \times 180^\circ \).

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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Qual é o polígono regular?

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 143 Ex. 5

Enunciado

Indica qual é o polígono regular inscrito numa circunferência cujo ângulo ao centro mede:

  1. 60 graus
  2. 120 graus
  3. 36 graus
  4. 90 graus

Resolução >> Resolução

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9.º Ano / Aplicando / Circunferência e polígonos

Um decágono regular

Circunferência: Matematicamente Falando 9 - Parte 1 Pág. 143 Ex. 4

Enunciado

Calcula as amplitudes de cada ângulo externo e de cada ângulo interno de um decágono regular.

Resolução >> Resolução

A soma das amplitudes, em graus, dos ângulos internos de um polígono convexo com \(n\) lados é igual a \({S_i} = \left( {n – 2} \right) \times 180^\circ

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