A Casinha da Matemática Blog

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Um paralelepípedo e uma pirâmide

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 68 Ex. 6

Enunciado

Na figura, estão representados um paralelepípedo [ABCDEFGH] e uma pirâmide [HDPC], sendo P um ponto de [AB].

  1. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
    [A] As retas DP e BC são concorrentes.
    [B] As retas DP e BC são não complanares.
    [C]
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Uma rampa na entrada de uma escola

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 68 Ex. 5

Enunciado

O acesso a uma das entradas da escola da Rita é feito por uma escada de dois degraus iguais, cada um deles com 10 cm de altura.
Com o objetivo de facilitar a entrada na escola a pessoas com mobilidade condicionada, foi construída uma rampa.
Para respeitar …

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Um triângulo inscrito numa circunferência

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 2

Enunciado

Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O.
Os pontos A, B, C, P e R pertencem à circunferência.
Sabe-se que:

  • a circunferência tem raio 8;
  • \(\overline {BA} = \overline {BC} \);
  • [PR] é um diâmetro da circunferência;
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Um triângulo isósceles

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 63 Ex. 20

Enunciado

Seja [ABC] um triângulo tal que \(\overline {AC} = 4\) e \(\overline {AB} = \overline {BC} = 6\).

Seja M o ponto médio de [AB].

Determina a medida da amplitude do ângulo ACM com aproximação às décimas de grau, percorrendo as seguintes etapas.…

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A distância entre duas árvores

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 63 Ex. 19

Enunciado

Observa a figura ao lado.

Calcula a distância, arredondada às décimas, entre as árvores B e C.

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Seja B’ a projeção ortogonal do ponto B sobre o segmento de reta [AC].

No triângulo retângulo [ABB’], vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} B\widehat AC …

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O volume de um cilindro

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 63 Ex. 18

Enunciado

Observa o cilindro da figura.

Calcula o valor exato:

  1. de \(\overline {KJ} \);
  2. do volume do cilindro.

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  1. No triângulo retângulo [IJK], vem:
    \[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm tg}\nolimits} J\widehat IK = \frac{{\overline {KJ} }}{{\overline {IJ} }}}& \Leftrightarrow &{{\mathop{\rm tg}\nolimits} 30^\circ = \frac{{\overline {KJ} }}{{10}}}\\{}& \Leftrightarrow &{\frac{{\sqrt
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A altura da parede

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 63 Ex. 17

Enunciado

O Gonçalo está a 2 m de uma parede, vê o seu topo segundo um ângulo de 45 graus e a sua base segundo um ângulo de 30 graus.

Determina a altura dessa parede.
Apresenta o resultado arredondado às décimas.

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Nos triângulos retângulos […

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A largura da rua onde mora o Rogério

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 63 Ex. 16

Enunciado

O Rogério encostou uma escada com 10 metros de comprimento a um prédio do lado esquerdo da sua rua, formando com o solo um ângulo de 50 graus.
Depois, encostou-a a um prédio do lado direito da rua, sem alterar o ponto de apoio, formando com o …

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A área do triângulo [ABC]

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 62 Ex. 15

Enunciado

Observa a figura.
Sabe-se que \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha = 0,6\).

Qual é a área, em centímetros quadrados, do triângulo [ABC] da figura?
Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolução >> Resolução

No triângulo retângulo [CDE], vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha = 0,6}& \Leftrightarrow &{\frac{{\overline …

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A área do trapézio isósceles

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 62 Ex. 13

Enunciado

Qual é a área, em metros quadrados, do trapézio isósceles da figura?
Apresenta um valor arredondado às centésimas.

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No triângulo retângulo [ADE], vem \({\mathop{\rm tg}\nolimits} A\widehat DE = \frac{{\overline {AE} }}{{\overline {DE} }}\), donde:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm tg}\nolimits} 50^\circ = \frac{{\overline {AE} }}{{35}}}& \Leftrightarrow …

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Um carro sobe uma rampa

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 62 Ex. 12

Enunciado

Um carro sobe uma rampa inclinada de 10 graus em relação ao plano horizontal.

Se a rampa tem 30 metros de comprimento, a quantos metros o carro se eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa?
Apresenta o valor arredondado às décimas.

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No triângulo retângulo …

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O comprimento do lago

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 62 Ex. 11

Enunciado

Observa a figura onde se representa um lago.

Determina um valor arredondado às décimas do comprimento do lago.

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No triângulo retângulo [ABC], vem \({\mathop{\rm sen}\nolimits} B\widehat AC = \frac{{\overline {BC} }}{{\overline {AC} }}\), donde:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} 35^\circ = \frac{{220}}{{\overline {AC} }}}& \Leftrightarrow &{\overline {AC} …

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Mostra que

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 62 Ex. 10

Enunciado

Mostra que:

  1. \(2{{\mathop{\rm sen}\nolimits} ^2}\alpha – 1 = \left( {{\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha – \cos \alpha } \right)\left( {{\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha + \cos \alpha } \right)\)
     
  2. \(1 + \frac{1}{{{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} }^2}\theta }} = \frac{1}{{{{{\mathop{\rm sen}\nolimits} }^2}\theta }}\)

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  1. Tendo em consideração a Fórmula Fundamental da Trigonometria
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O perímetro e a área de um triângulo

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 9

Enunciado

No triângulo retângulo da figura, a hipotenusa mede mais 4 cm do que o cateto [AB] e \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \widehat C = 0,6\).

Calcula o perímetro e a área do triângulo [ABC]

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Ora,

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} \widehat C = 0,6}& \Leftrightarrow …

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O seno de um ângulo agudo é \({\frac{3}{5}}\)

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 8

Enunciado

O seno de um ângulo agudo de amplitude \(\alpha \) é \({\frac{3}{5}}\).

Qual é o valor de \({\cos ^2}\alpha – {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \)?

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Por aplicação da Fórmula Fundamental da Trigonometria, vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} + {{\cos }^2}\alpha = 1}& \Leftrightarrow &{{{\cos }^2}\alpha = …

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Sabendo que \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha = \frac{1}{3}\)

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 6

Enunciado

Sabendo que \({\mathop{\rm sen}\nolimits} \alpha = \frac{1}{3}\), qual é o valor de \({\cos \alpha }\) e de \({\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \)?

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Aplicando a Fórmula Fundamental da Trigonometria, vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\cos }^2}\alpha = 1}& \Leftrightarrow &{{{\cos }^2}\alpha = 1 – \frac{1}{9}}\\{}& \Leftrightarrow …

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Sou um ângulo agudo

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 61 Ex. 5

Enunciado

Sou um ângulo agudo. O meu cosseno é igual a \(\frac{3}{5}\).

Calcula o valor exato do meu seno e da minha tangente.

Resolução >> Resolução

Seja \(\alpha \) a amplitude desse ângulo agudo.

Aplicando a Fórmula Fundamental da Trigonometria, vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{{\mathop{\rm sen}\nolimits} }^2}\alpha + {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} …

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Um octógono regular

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 60 Ex. 5

Enunciado

Considera um octógono regular inscrito numa circunferência de centro O e raio 4 cm e decomposto em oito triângulos de vértice O e com um lado comum ao octógono.

  1. Justifica que os triângulos, nos quais está dividido o octógono, são iguais e que \(C\widehat OD = 45^\circ
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A área de um triângulo

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 60 Ex. 4

Enunciado

Calcula o valor exato da área, em centímetros quadrados, do triângulo retângulo [ABC] da figura.

Resolução >> Resolução

No triângulo retângulo [ABC], vem \({\mathop{\rm tg}\nolimits} B\widehat AC = \frac{{\overline {BC} }}{{\overline {AB} }}\), donde:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm tg}\nolimits} 60^\circ = \frac{{8\sqrt 3 }}{{\overline {AB} }}}& …

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Uma escada magirus

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 60 Ex. 3

Enunciado

Numa operação de salvamento, aquando de um incêndio num prédio de vários andares, foi utilizada uma escada magirus, com 30 metros de comprimento, assente num camião a 2,5 metros do chão.

De acordo com os bombeiros, a inclinação máxima da escada é 60 graus.

Qual é a …

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Uma corda [BC]

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 60 Ex. 2

Enunciado

Uma corda [BC] forma um ângulo de 30 graus com o diâmetro [AB] de uma circunferência, como vês na figura.

Qual é o comprimento da corda [AC], sabendo que o raio da circunferência mede 1,5 cm? Explica como chegaste à tua …

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As razões trigonométricas dos ângulos de \(30^\circ \), \(45^\circ \) e \(60^\circ \)

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 9

Enunciado

  1. Na figura, [DU] é uma diagonal do quadrado de lado a.
  1. Qual é a medida da amplitude do ângulo UDA? Justifica.
  2. Calcula, a partir do quadrado de lado a, os valores exatos de \({\mathop{\rm sen}\nolimits} 45^\circ \), \(\cos 45^\circ \) e \({\mathop{\rm
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O quadrilátero [ABCD] está dividido em dois triângulos retângulos

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 56 Ex. 9

Enunciado

O quadrilátero [ABCD] está dividido em dois triângulos retângulos.

  1. Qual é a medida da amplitude do ângulo BAC, arredondada às unidades? Explica como chegaste à tua resposta.
  2. Determina \(\overline {AD} \) arredondado às décimas.

Resolução >> Resolução

  1. No triângulo retângulo [ABC], temos: