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Radiciação em $\mathbb{C}$ 0

Radiciação em $\mathbb{C}$

Números complexos

Sendo $z = \rho \operatorname{cis} \theta $ um número complexo não nulo, as $n$ raízes de índice $n$ são: $${w_k} = \sqrt[n]{\rho }\operatorname{cis} \left( {\frac{\theta }{n} + \frac{{2k\pi }}{n}} \right)\,\,,k = 0,1,2,…,n – 1$$

 

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":800, "height":521, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 59 || …

Prove que 0

Prove que

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 100 Ex. 61

Enunciado

Prove que:

  1. $w = 2i$ é uma raiz quarta de $z = 16$.
     
  2. $w = 1 + i$ é uma raiz quadrada de $z = 2i$.

Resolução >> Resolução

  1. Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{w^4}}& = &{{{\left( {2i} \right)}^4}} \\
      {}& = &{16{i^4}} \\
      {}& = &{16}
    \end{array}$$
     
    Como ${w^4}
Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z =  – 2 + 2i$ 0

Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z = – 2 + 2i$

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 57

Enunciado

Prove que $w = 1 + i$ é uma raiz cúbica de $z =  – 2 + 2i$.

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{w^3}}& = &{{{\left( {1 + i} \right)}^3}} \\
  {}& = &{{{\left( {\sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{4}} \right)}^3}} \\
  {}& = &{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}\operatorname{cis} …

Calcule o valor de 0

Calcule o valor de

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 56

Enunciado

Calcule o valor de: $${{{\left( {\frac{{\cos \theta  – i\operatorname{sen} \theta }}{{\operatorname{sen} \theta  + i\cos \theta }}} \right)}^5}}$$

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{{\left( {\frac{{\cos \theta  – i\operatorname{sen} \theta }}{{\operatorname{sen} \theta  + i\cos \theta }}} \right)}^5}}& = &{{{\left( {\frac{{\operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} – …

Mostre que 0

Mostre que

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 55

Enunciado

Mostre que $${\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^n} + {\left( {1 – \sqrt 3 i} \right)^n} = {2^{n + 1}}\operatorname{c} os\left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)$$ para todo o $n \in \mathbb{N}$.

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{{\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)}^n} + {{\left( {1 – \sqrt …

Represente na forma trigonométrica 0

Represente na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 54

Enunciado

Represente, na forma trigonométrica, o número $$\frac{{1 + \sqrt 2  + i}}{{1 + \sqrt 2  – i}}$$

Resolução >> Resolução

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {\frac{{1 + \sqrt 2  + i}}{{1 + \sqrt 2  – i}}}& = &{\frac{{1 + \sqrt 2  + i}}{{1 + \sqrt 2  – i}} \times \frac{{1 + …

Considere os seguintes números complexos 0

Considere os seguintes números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 142 Ex. 53

Enunciado

Considere $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{z_1} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i}&{\text{e}}&{{z_2} = \operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}}
\end{array}$$

  1. Determine ${z_1}.{z_2}$, na forma trigonométrica e na forma algébrica.
     
  2. Utilizando os resultados obtidos na alínea anterior, deduza os valores exatos de $\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$ e $\operatorname{sen} \frac{{7\pi }}{{12}}$.
     
  3. Obtenha os valores de $\cos
Represente na forma trigonométrica 0

Represente na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 142 Ex. 52

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {z = \sqrt 2  – \sqrt 2 i}&{\text{e}}&{w =  – \frac{2}{3} + \frac{2}{{\sqrt 3 }}i}
\end{array}$$ represente na forma trigonométrica.

  1. $z$
     
  2. $w$
     
  3. $zw$
     
  4. $\frac{z}{w}$
     
  5. ${w^3}$
     
  6. $\frac{1}{{ – w}}$
     
  7. ${z^2}\overline w $
     
  8. ${z^4}:{w^3}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{\sqrt 2  – \sqrt 2 i} \\
Qual é a resposta correta? 0

Qual é a resposta correta?

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 142 Ex. 51

Enunciado

Em cada uma das alíneas seguintes, uma ou várias respostas estão corretas. Indique quais.

Seja $z = {\cos ^2}\theta  + \frac{i}{2}\operatorname{sen} \left( {2\theta } \right)$ e $\theta  \in \left] { – \pi ,\pi } \right[$.

 
Exercício 1

O módulo de $z$ é:

[A] $\cos \theta $, qualquer

Calcule 0

Calcule

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 141 Ex. 50

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{z_1} = 16\operatorname{cis} \frac{\pi }{4}}&{\text{e}}&{{z_2} = 16\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}}
\end{array}$$ calcule:

  1. ${z_1} + {z_2}$
     
  2. ${z_1} – {z_2}$
     
  3. ${\left( {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} – {z_2}}}} \right)^3}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {{z_1} + {z_2}}& = &{16\operatorname{cis} \frac{\pi }{4} + 16\operatorname{cis} \frac{{3\pi }}{4}} \\
      {}& = &{16\left( {\frac{{\sqrt 2
Qual é a resposta correta 0

Qual é a resposta correta

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 141 Ex. 49

Enunciado

Para os exercícios seguintes, só uma das respostas está correta. Indique qual.

Exercício 1

No plano complexo os afixos ${M_1}$, ${M_2}$ e ${M_3}$ dos números complexos $0$, $z$ e $\frac{1}{z}$ $\left( {z \ne 0} \right)$:

[A] são colineares;

[B] são colineares para alguns números complexos;

[C] nunca …

Escreva $z$ na forma algébrica 0

Escreva $z$ na forma algébrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 141 Ex. 48

Enunciado

Escreva $z$ na forma algébrica:

  1. $z = \operatorname{cis} \frac{\pi }{3}$
     
  2. $z = 2\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)$
     
  3. $z = \sqrt 3 \operatorname{cis} \left( { – \frac{{5\pi }}{6}} \right)$
     
  4. $z = 2\operatorname{cis} \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)$
     
  5. $z = \operatorname{cis} \frac{{9\pi }}{2}$
     
  6. $z = 9\operatorname{cis} 2\pi $
Determine na forma trigonométrica 0

Determine na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 140 Ex. 46

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{c}}
  {z = 2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}}&{\text{e}}&{w = 3\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}}
\end{array}$$ determine na forma trigonométrica:

  1. $zw$
     
  2. $\frac{z}{w}$
     
  3. ${z^3}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {zw}& = &{\left( {2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}} \right) \times \left( {3\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}} \right)} \\
      {}& = &{\left( {2 \times 3} \right)\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{3}
Calcule 0

Calcule

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 99 Ex. 60

Enunciado

Calcule:

  1.  
    $${\left( { – 1 – \sqrt 3 i} \right)^6}$$
     
  2.  
    $${\left( {\frac{{2 + 2i}}{{2 – 2i}}} \right)^4}$$
     
  3.  
    $${\left[ {3\operatorname{cis} \left( { – \frac{{4\pi }}{3}} \right)} \right]^5}$$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica da potência (Fórmula de Moivre):

Se $z = \rho \operatorname{cis} \theta $ é um número

Calcule 0

Calcule

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 97 Ex. 59

Enunciado

Calcule:

  1.  
    $$\frac{{2\operatorname{cis} \frac{\pi }{3}}}{{4\operatorname{cis} \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}}$$
     
  2.  
    $$\frac{{ – 2}}{{\operatorname{cis} \left( { – \theta } \right)}}$$
     
  3.  
    $$\frac{{ – \operatorname{cis} \frac{\pi }{6}}}{{2\operatorname{cis} \theta }}$$
     
  4.  
    $$\left( {2\operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{6}} \right) \times \left[ {3\operatorname{cis} \left( { – \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right]$$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica do quociente:

Represente na forma trigonométrica 0

Represente na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 96 Ex. 57

Enunciado

Represente na forma trigonométrica:

  1.  $z =  – 3\operatorname{cis} \theta $
     
  2. $z = 2\cos \theta  – 2i\operatorname{sen} \theta $
     
  3. $z =  – \cos \theta  – i\operatorname{sen} \theta $
     
  4. $z = \frac{1}{{2\operatorname{cis} \left( {\frac{\pi }{3} – \theta } \right)}}$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{ – 3\operatorname{cis} \theta
Represente na forma trigonométrica o simétrico e o inverso dos números complexos 0

Represente na forma trigonométrica o simétrico e o inverso dos números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 96 Ex. 56

Enunciado

Represente na forma trigonométrica o simétrico e o inverso de cada um dos seguintes números complexos:

  1. $z =  – 3 + 3i$
     
  2. $z = 2\operatorname{cis} \left( { – \pi } \right)$
     
  3. $z = 2,3\operatorname{cis} \left( {\frac{{5\pi }}{4}} \right)$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica do simétrico:

Se

Forma trigonométrica do produto de dois números complexos 0

Forma trigonométrica do produto de dois números complexos

Números complexos

Forma trigonométrica do produto:

Se ${z_1} = {\rho _1}\operatorname{cis} {\theta _1}$ e ${z_2} = {\rho _2}\operatorname{cis} {\theta _2}$ são dois complexos não nulos, então $${z_1}.{z_2} = {\rho _1}{\rho _2}\operatorname{cis} \left( {{\theta _1} + {\theta _2}} \right)$$

 

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":680, "height":490, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 …

Calcule o produto na forma trigonométrica 0

Calcule o produto na forma trigonométrica

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 94 Ex. 54

Enunciado

Sendo $$\begin{array}{*{20}{l}}
  {{z_1} = 3\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)}&{\text{;}}&{{z_2} = \sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{\pi }{6}}&{\text{e}}&{{z_3} = \operatorname{cis} \frac{{5\pi }}{6}}
\end{array}$$ calcule:

  1. ${z_1}.{z_2}$
     
  2. ${z_2}.{z_3}$
     
  3. ${z_1}.{z_2}.{z_3}$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica do produto:

Se ${z_1} = {\rho _1}\operatorname{cis} {\theta _1}$ e ${z_2} = {\rho _2}\operatorname{cis} {\theta

Represente, na forma trigonométrica, os conjugados dos números complexos 0

Represente, na forma trigonométrica, os conjugados dos números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 93 Ex. 53

Enunciado

Represente, na forma trigonométrica, os conjugados dos números complexos:

  1. $z =  – 3$
     
  2. $z = 2i$
     
  3. $z = 2\operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)$

Resolução >> Resolução

Forma trigonométrica do conjugado:

Se $z = \rho \operatorname{cis} \theta $, então $\overline z  = \rho \operatorname{cis} \left(

Represente na forma algébrica os números complexos 0

Represente na forma algébrica os números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 92 Ex. 52

Enunciado

Represente na forma algébrica os números complexos:

  1. $z = 5\operatorname{cis} \pi $
     
  2. $z = 3\operatorname{cis} \frac{\pi }{2}$
     
  3. $z = \sqrt 2 \operatorname{cis} \frac{{7\pi }}{4}$
     
  4. $z = \operatorname{cis} \frac{{7\pi }}{6}$
     
  5. $z = \sqrt 3 \operatorname{cis} \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)$

Resolução >> Resolução

  1.  
    $$\begin{array}{*{20}{l}}
      z& = &{5\operatorname{cis}
0

Ficha de trabalho

9.º Ano: Trigonometria; Espaço - Outra Visão

A presente Ficha de Trabalho aborda os temas Trigonometria e Espaço – Outra Visão.

As dificuldades que encontres durante a sua resolução deves tentar superá-las consultando o manual e o caderno diário; depois, poderás tirar as dúvidas na aula ou na sala de estudo.

A realização da Ficha de …

Considere os números complexos 0

Considere os números complexos

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 140 Ex. 45

Enunciado

Considere os números complexos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {z = x + yi\,\,{\text{de afixo M}}}&;&{{z_1} = x – 4 + i\left( {y + 5} \right)}&{\text{e}}&{{z_2} = x + 4 + i\left( {1 – y} \right)}
\end{array}$$

  1. Para que valores de $x$ e $y$ se tem ${z_1} = 3{z_2}$?
     
  2. Determine e