A Casinha da Matemática Blog

Mostre que 0

Mostre que

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 35 Ex. 12

Enunciado

Mostre que $$\operatorname{tg} \left( {2\alpha } \right) = \frac{{2\operatorname{tg} \alpha }}{{1 – {{\operatorname{tg} }^2}\alpha }}$$

Resolução >> Resolução

Tendo em consideração que

$$\operatorname{tg} \left( {\alpha  + \beta } \right) = \frac{{\operatorname{tg} \alpha  + \operatorname{tg} \beta }}{{1 – \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta }}$$

temos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {\operatorname{tg} \left( {2\alpha …

Determine o conjunto solução da equação 0

Determine o conjunto solução da equação

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 35 Ex. 11

Enunciado

Determine o conjunto solução da equação $\operatorname{sen} \alpha  – \cos \alpha  = \sqrt 2 $.

Resolução >> Resolução

Tendo em consideração que

$$\operatorname{sen} \left( {\alpha  – \beta } \right) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta  – \cos \alpha \operatorname{sen} \beta $$

temos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
  {\operatorname{sen} \alpha  – \cos \alpha  …

A partir das fórmulas 0

A partir das fórmulas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 34 Ex. 10

 

Enunciado

A partir das fórmulas correspondentes do seno e do co-seno, deduza uma fórmula para

  1. $\operatorname{tg} \left( {\alpha  + \beta } \right)$
     
  2. $\operatorname{tg} \left( {\alpha  – \beta } \right)$

Resolução >> Resolução

$$\operatorname{sen} \left( {\alpha  + \beta } \right) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \operatorname{sen}

A partir da fórmula 0

A partir da fórmula

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 34 Ex. 9

Enunciado

A partir da fórmula $$\operatorname{sen} \left( {\alpha  + \beta } \right) = \operatorname{sen} \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \operatorname{sen} \beta $$ encontre uma fórmula para:

  1. $\operatorname{sen} \left( {\alpha  – \beta } \right)$
     
  2. $\operatorname{sen} \left( {2\alpha } \right)$

Resolução >> Resolução

$$\operatorname{sen} \left( {\alpha  + \beta }

Prove que 0

Prove que

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 33 Ex. 8

Enunciado

Prove que $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \operatorname{tg} x$$ não existe, encontrando duas sucessões infinitamente grandes, $({u_n})$ e $({v_n})$, tais que $\left( {\operatorname{tg} ({u_n})} \right)$ e $\left( {\operatorname{tg} ({v_n})} \right)$ convirjam para limites diferentes.

Resolução >> Resolução

Consideremos as sucessões $({u_n})$ e $({v_n})$, infinitamente grandes …

Qual é o período positivo mínimo? 2

Qual é o período positivo mínimo?

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 32 Ex. 7

Enunciado Qual é o período positivo mínimo de cada uma das funções?

  1. $f:x \to \operatorname{tg} \left( {3x} \right)$
     
  2. $g:x \to \operatorname{tg} \left( {\frac{x}{4}} \right)$
     
  3. $h:x \to 2 + 3\operatorname{tg} \left( {\frac{x}{{10}}} \right)$

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  1. O período positivo mínimo da função $x \to \operatorname{tg} x$ é $\pi $.
Construa o gráfico da função 0

Construa o gráfico da função

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 31 Ex. 5

Enunciado

  1. Construa o gráfico da função definida por $$f(x) = \cos \left( {x – \frac{\pi }{2}} \right)$$ e identifique outra função trigonométrica com esse gráfico.
     
  2. Comente a afirmação: “O gráfico da função $y =  – \cos x$ tem a mesma forma que o da função $y = \operatorname{sen}
Mostre que 0

Mostre que

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 29 Ex. 4

Enunciado

Mostre que:

  1. $\frac{{2\pi }}{\alpha }$ é período da função $g:x \to \cos \left( {\alpha x} \right)$
     
  2. $\frac{{2\pi }}{\alpha }$ é período da função $h:x \to \cos \left( {\alpha x} \right) + \operatorname{sen} \left( {\alpha x} \right)$

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  1. Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
      {g(x + \frac{{2\pi }}{\alpha })}& =
0

Três funções trigonométricas

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 28 Ex. 3

Enunciado

Considere, definidas em $\left[ { – \frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2}} \right]$, as funções:

$$x \to f(x) = \cos x$$

$$x \to g(x) = 3\cos x$$

$$x \to h(x) = \cos 3x$$

  1. Represente-as graficamente no mesmo referencial e pronuncie-se acerca do período, da paridade e do contradomínio de cada
Considere as funções 0

Considere as funções

Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 27 Ex. 2

Enunciado

Considere as funções:

$$f(x) = 2\operatorname{sen} x$$

$$g(x) =  – 0,5\operatorname{sen} x$$

$$h(x) =  – 1 + \operatorname{sen} x$$

$$t(x) =  – 1 + 2\operatorname{sen} x$$

Determine para cada uma:

  • a expressão geral dos zeros;
  • os extremos e a expressão dos minimizantes e maximizantes;
  • o contradomínio;
Funções do tipo $x \to B + A\operatorname{sen} \left( {\omega x – \phi } \right)$ 0

Funções do tipo $x \to B + A\operatorname{sen} \left( {\omega x – \phi } \right)$

Funções seno, co-seno e tangente
  • Qual será o efeito do parâmetro $A$?
  • Qual será o efeito do parâmero $B$?
  • Qual será o efeito do parâmetro $\omega $?
  • Qual será o efeito do parâmetro $\phi $?

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Uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 99

Enunciado

Quando uma determinada substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $$C(t) = \frac{1}{2}\left( {{e^{ – 2t}} – {e^{ – 4t}}} \right)$$

  1. Em que instante ocorre a concentração máxima e qual o seu valor?
     
  2. O que se pode dizer
Numa empresa 0

Numa empresa

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 231 Ex. 98

Enunciado

Numa empresa, o lucro originado pela produção de $n$ peças é dado, em milhares de contos, por $$L(n) = \ln \left( {100 + n} \right) + k$$ com $k$ constante real.

  1. Sabendo que, não havendo produção, não há lucro, determine $k$ e mostre que: $$L(n) = \ln
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Um fio encontra-se suspenso entre dois postes

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 230 Ex. 96

Enunciado

 Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é de 30 metros.

Considere a função $f$ definida por $$f(x) = 5\left( {{e^{1 – 0,1x}} + {e^{0,1x – 1}}} \right)$$

Admita que $f(x)$ é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio a …

0

Um novo analgésico: o AntiDor

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 94

Resolução

Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor.

A concentração desse medicamento, em decigramas por litro de sangue, $t$ horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por $$C(t) = {t^2}{e^{ – 0,6t}}\,\,\,\left( {t \geqslant 0} \right)$$

  1. Recorrendo exclusivamente a processos analíticos,
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Reprodução de duas espécies vegetais

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 93

Enunciado

Um biólogo provoca, em laboratório, a reprodução de duas espécies vegetais, A e B. O número de exemplares de cada uma das espécies, ao fim de $t$ meses, após o início da experiência, é dado por:

$$\begin{array}{*{20}{c}}
  {{\text{Esp}}{\text{. A:}}}&{A(t) = 40 + \ln \left( {{t^2} + 1} …

0

Capacidade pulmonar de um ser humano

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 229 Ex. 92

Enunciado

Seja $f$ a função definida em $\left[ {10,100} \right]$ por $$f(x) = \frac{{\ln x – 2}}{x}$$

  1. Caraterize a função derivada $f’$.
     
  2. Representando por $x$ a idade, em anos, e por $g(x)$ a capacidade pulmonar de um ser humano, em litros, admite-se que $g(x) = 100 \times f(x)$.
Piza 0

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 91

Enunciado

Uma piza foi confecionada à temperatura de 230º C e retirada do forno às 17 horas para um compartimento que se encontra à temperatura de 20º C.

Admita que, passados 5 minutos, a piza se encontra à temperatura de 150º C.

Sabe-se que a temperatura $A$ (em …

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Águias existentes numa reserva

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 228 Ex. 90

Enunciado

Num determinado ano (ano zero) havia, em certo parque natural, 318 águias.

Passado um ano, o número de águias era 417.

Sabendo que o número $P$ de águias existentes nessa reserva, quando é decorrido o tempo $t$, contado do início dos registos, é dado por uma função …

0

A representação gráfica da derivada de $f$

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 227 Ex. 86

Enunciado

A curva $C$ é a representação gráfica da função derivada $f’$ de uma função $f$ derivável em $\left[ {1,5} \right]$.

A tangente à curva no ponto de abcissa 4 é horizontal.

  1. Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:a) $f$ é contínua em
0

A representação gráfica de uma função real de variável real

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 226 Ex. 85

Enunciado

Segue-se a representação gráfica de uma função $f$ real de domínio $\mathbb{R}$.

O eixo das ordenadas e a reta de equação $y = mx + b$, representada a traço-ponto, são as únicas assíntotas do gráfico.

As retas tangentes ao gráfico de $f$, nos pontos de abcissas -2 …

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Uma viga de aço

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 225 Ex. 83

Enunciado

Uma viga de aço com 255 decímetros de comprimento está assente sobre dois pilares com 150 decímetros de altura cada.

Quando, a $d$ decímetros do 1.º pilar, se coloca um peso de 115 kg sobre a viga, esta sofre uma depressão de valor $s$ (em decímetros) que …

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Um triângulo equilátero

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 81

Enunciado

Considere o triângulo retângulo [ABC] de lado $a$.

Increve-se nesse triângulo um retângulo [MNPQ].

Faça-se $\overline {AM}  = x$.

Para que valor de $x$ a área do retângulo é máxima?

Resolução >> Resolução

Como o triângulo  [ABC] é equiângulo, temos: $$\operatorname{tg} 60^\circ  = \frac{{\overline {QM} }}{{\overline {AM} …

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Um trapézio isósceles

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 224 Ex. 79

Enunciado

[ABCD] é um trapézio isósceles de área $5\sqrt 2 \,\,c{m^2}$.

Os ângulos agudos medem 45º.

Seja $x$ (em cm) a altura do trapézio e $P(x)$ o seu perímetro (em cm).

  1. Exprima $\overline {DH} $ e $\overline {CK} $ em função de $x$.
     
  2. Exprima $\overline {AD} $ e
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Dimensões de um triângulo de área máxima

Cálculo diferencial: Infinito 12 A - Parte 2 Pág. 223 Ex. 75

Enunciado

Considere a parábola definida por $y =  – {x^2} + 9$.

Supondo que a unidade adoptada é o centímetro, determine as dimensões do retângulo [EFGH] de área máxima, sabendo que E e F são pontos da parábola e G e H são pontos do eixo das abcissas.…