A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Tagged: 11.º Ano

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Aplicando / 11.º Ano / Funções racionais

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 1

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações:

  1. $a – \frac{5}{a} = 4$
  2. $\frac{9}{{x + 5}} = \frac{3}{{x – 3}}$
  3. $\frac{{x + 4}}{x} + \frac{3}{{x + 3}} =  – \frac{{16}}{{{x^2} – 4x}}$

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11.º Ano / Funções racionais / Aplicando

Quantos alunos foram almoçar?

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 36 Ex. 12

Enunciado

Um grupo de alunos de uma turma resolveu ir almoçar no último dia de aulas. No final, a conta paga foi de $60$ €.

Como dois desses alunos não tinham dinheiro, os outros resolveram a questão dando cada um mais $8$ €.

Quantos alunos foram almoçar?

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Aplicando / 11.º Ano / Funções racionais

Mais assíntotas

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 33 Ex. 8

Enunciado

Escreva as equações das assíntotas dos gráficos das funções racionais seguintes:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = \frac{{ – 2}}{{x – 2}}}&{}&{g\left( x \right) = \frac{{x – 7}}{{x + 2}}}&{}&{h\left( x \right) = \frac{{3x – 3}}{{2x + 4}}}
\end{array}\]

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Funções racionais / Aplicando / 11.º Ano

Equações das assíntotas

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 33 Ex. 7

Enunciado

  1. Indique, por observação do gráfico, as equações das assíntotas de cada uma das seguintes funções:
  2. Faça corresponder a cada um dos gráficos das alíneas anteriores uma das seguintes funções:
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
    {f\left( x \right) = \frac{{ – x}}{{x + 2}}}&{}&{g\left( x \right) = \frac{{3x – 5}}{{x – 2}}}&{}&{h\left( x \right) = \frac{{x – 2}}{x}}
    \end{array}\]

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Aplicando / 11.º Ano / Geometria Analítica

Um cubo

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 191 Ex. 69

Enunciado

Na figura está representado um cubo, em referencial o.n. Oxyz.

Sabe-se que:

  • a face [OPQR] está contida no plano xOy;
  • a face [OSVR] está contida no plano xOz;
  • a face [OSTP] está contida no plano yOz;
  • uma equação do plano VTQ é $x+y+z=6$.
  1. Mostre que o volume do cubo é 27.
  2. Determine uma equação da superfície esférica, tal que:
    – o centro é o simétrico de U, em relação ao plano xOy;
    – o ponto Q pertence
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11.º Ano / Geometria Analítica / Aplicando

Um cone de revolução

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 191 Ex. 68

Enunciado

Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz, um cone de revolução.

Sabe-se que:

  • A base do cone está contida no plano xOy e tem o seu centro na origem do referencial.
  • [AC] e [BD] são diâmetros da base.
  • O ponto A pertence ao semieixo positivo Ox.
  • O ponto B pertence ao semieixo positivo Oy.
  • O vértice V pertence ao semieixo positivo Oz.
  1. Sabendo que uma equação do plano ABV é $4x+4y+3z=12$, mostre que o comprimento do
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Aplicando / 11.º Ano / Geometria Analítica

Considere num referencial ortonormado

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 67

Enunciado

Considere num referencial ortonormado Oxyz:

  • o ponto $A\,(10,0,0)$
  • o ponto $B\,(0,2,1)$
  • o ponto $C\,(0,5,0)$
  • a recta AB
  • a recta BC
  1. Justifique que as retas AB e BC são complanares e mostre que o plano $\alpha $ por elas definido admite como equação $x+2y+6z=10$.
  2. Determine uma equação vetorial da recta de intersecção do plano $\alpha $ com o plano xOz.
  3. Calcule o volume da pirâmide [OBCA].

Exercício extraído da Prova Modelo 1999 (questão 4 da 2.ª Parte)
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Aplicando / 11.º Ano / Geometria Analítica

Considere os pontos A e B

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 66

Enunciado

Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos $A\,(5,0,0)$ e $B\,(0,3,1)$.

  1. Mostre que a reta AB está contida no plano de equação $x+2y-z=5$.
  2. Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo Oz e de cota positiva, de tal modo que o triângulo [ABC] seja retângulo em C.
  3. Determine o volume do cone que resulta da rotação do triângulo [AOB] em torno do eixo Ox.

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Aplicando / 11.º Ano / Geometria Analítica

Uma caixa cilíndrica

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 65

Enunciado

Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma caixa cilíndrica construída num material de espessura desprezável.

A caixa contém duas bolas encostadas uma à outra e às bases da caixa cilíndrica.

  • O cilindro tem uma das bases no plano xOz.
  • O centro dessa base é o ponto de coordenadas $(3,0,3)$.
  • A outra base está contida no plano de equação $y=12$.
  • As bolas são esferas de raio igual a 3.
  • Os diâmetros das esferas e das bases
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11.º Ano / Geometria Analítica / Aplicando

Um octaedro

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 64

Enunciado

Considere o referencial o.n. (O,x,y,z) e o octaedro regular representado na figura.

As arestas [AC], [CD], [DE] e [EA] estão contidas no plano xOy e o vértice B pertence ao eixo das cotas. O ponto C tem coordenadas $(2,2,0)$.

  1. Prove que o ponto B tem as coordenadas $(0,0,2\sqrt{2})$.
  2. Determine uma equação do plano ACB.
  3. Considere o plano de equação $x+y-2z=4$. Determine a sua intersecção com o plano xOy e mostre que o ponto C pertence a essa
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Aplicando / 11.º Ano / Geometria Analítica

Uma reta e a sua intersecção com dois planos

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 63

Enunciado

Suponha que a reta r: $x=y=z$ intersecta o plano $\alpha $: $x-2y-z=2$ no ponto P e o plano $\beta $: $x-2y-z=4$, no ponto Q.

Qual é, então, na unidade considerada, a norma do vector $PQ$?

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Geometria Analítica / Aplicando / 11.º Ano

Um paralelepípedo de altura variável

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 62

Enunciado

A figura representa um paralelepípedo de altura variável, sendo:

  • $\overline{AB}=4\,cm$
  • $\overline{BC}=3\,cm$
  • $\overrightarrow{AF}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\overrightarrow{AC}=\alpha $
  1. Mostre que o volume do paralelepípedo é dado por $V(\alpha )=60\,tg\,\alpha $.
  2. Determine o valor exato do volume do sólido quando $\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )$ é igual a $-\frac{2}{3}$.
  3. Calcule o valor do produto escalar $\overrightarrow{AF}\,.\,\overrightarrow{BC}$.
  4. Se, no referencial o.n. representado, G for o ponto $(0,0,8)$, quais são as coordenadas dos pontos médios das arestas laterais do paralelepípedo?

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Aplicando / 11.º Ano / Geometria Analítica

Dados dois pontos, A e B

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 61

Enunciado

Num referencial o.n. tridimensional, estão representados o ponto $A\,(2,-3,1)$ e o ponto $B\,(3,2,6)$.

  1. Determine a intersecção da reta AB com o plano xOy.
  2. Determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e de B.

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