Uma reta e a sua intersecção com dois planos

Suponha que a reta r: $x=y=z$ intersecta o plano $\alpha $: $x-2y-z=2$ no ponto P e o plano $\beta $: $x-2y-z=4$, no ponto Q.

Qual é, então, na unidade considerada, a norma do vector $PQ$?

Comecemos por determinar as coordenadas dos pontos P e Q:

\[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x-2y-z=2  \\
x=y=z  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x-2y-z=2  \\
x-y=0  \\
x-z=0  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x-2y-z=2  \\
x-y=0  \\
-2y=2  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-1  \\
y=-1  \\
z=-1  \\
\end{array} \right.  \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x-2y-z=4  \\
x=y=z  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x-2y-z=4  \\
x-y=0  \\
x-z=0  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x-2y-z=4  \\
x-y=0  \\
-2y=4  \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-2  \\
y=-2  \\
z=-2  \\
\end{array} \right.  \\
\end{array}\]

Logo, $P\,(-1,-1,-1)$ e $Q\,(-2,-2,-2)$.

Então, na unidade considerada, a norma do vector $PQ$ é:
$$\left\| \overrightarrow{PQ} \right\|=\sqrt{{{(-2+1)}^{2}}+{{(-2+1)}^{2}}+{{(-2+1)}^{2}}}=\sqrt{3}$$