Considere os pontos A e B
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 66
Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos $A\,(5,0,0)$ e $B\,(0,3,1)$.
- Mostre que a recta AB está contida no plano de equação $x+2y-z=5$.
- Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo Oz e de cota positiva, de tal modo que o triângulo [ABC] seja rectângulo em C.
- Determine o volume do cone que resulta da rotação do triângulo [AOB] em torno do eixo Ox.
As coordenadas dos pontos A e B verificam a equação do plano considerado: $5+2\times 0-0=5$ e $0+2\times 3-1=5$ são ambas proposições verdadeiras.
Assim, os pontos A e B pertencem ao plano considerado. Consequentemente, a recta AB está contida nesse mesmo plano.
- As coordenadas do ponto C são do tipo $(0,0,c)$, com $c>0$.
Para que o triângulo seja rectângulo em C tem de se verificar: $\overrightarrow{AC}\,.\,\overrightarrow{BC}=0$.
Como $\overrightarrow{AC}=(-5,0,c)$ e $\overrightarrow{BC}=(0,-3,c-1)$, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(-5,0,c).(0,-3,c-1)=0 \\
c>0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
c(c-1)=0 \\
c>0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & c=1 \\
\end{array}\]Portanto, $C\,(0,0,1)$.
- O cone obtido tem altura [AO] e a base é o círculo, contido no plano yOz, com centro em O e raio [OB].
Assim, o volume desse cone é: \[\begin{array}{*{35}{l}}
V & = & \frac{1}{3}\times \pi \times {{\left( \sqrt{0+{{3}^{2}}+{{1}^{2}}} \right)}^{2}}\times 5 \\
{} & = & \frac{50\pi }{3} \\
\end{array}\]
unidades de volume.
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