Uma caixa cilíndrica
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 190 Ex. 65
Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma caixa cilíndrica construída num material de espessura desprezável.
A caixa contém duas bolas encostadas uma à outra e às bases da caixa cilíndrica.
- O cilindro tem uma das bases no plano xOz.
- O centro dessa base é o ponto de coordenadas $(3,0,3)$.
- A outra base está contida no plano de equação $y=12$.
- As bolas são esferas de raio igual a 3.
- Os diâmetros das esferas e das bases do cilindro são iguais.
- Justifique que a superfície esférica correspondente à bola mais afastada do plano xOz tem centro no ponto $(3,9,3)$ e que o ponto $(1,8,1)$ pertence a essa superfície esférica.
- Escreva uma equação do plano tangente, no ponto $(1,8,1)$, à superfície esférica referida na alínea anterior.
Nota: um plano tangente a uma superfície esférica é perpendicular ao raio no ponto de tangência. - Considere agora a caixa vazia.
Seccionou-se a caixa pelo plano de equação $z=4$.
Supondo que a unidade do referencial é o centímetro, determine o perímetro da secção obtida.
Como o diâmetro das esferas é 6 unidades, então o centro da superfície esférica mais afastada do plano xOz é ${{C}_{2}}=(3,0,3)+\frac{3}{2}(0,6,0)=(3,9,3)$.
Uma condição que define essa superfície esférica é:
$${{(x-3)}^{2}}+{{(y-9)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=9$$O ponto $(1,8,1)$ pertence a essa superfície esférica, pois as suas coordenadas verificam a condição anterior: ${{(1-3)}^{2}}+{{(8-9)}^{2}}+{{(1-3)}^{2}}=9\Leftrightarrow 4+1+4=9\Leftrightarrow 9=9$.
- Sendo $T\,(1,81)$, um vetor normal ao plano pedido é $\overrightarrow{{{C}_{2}}T}=(-2,-1,-2)$.
Desigando por $P\,(x,y,z)$ um ponto genérico do plano pretendido, tem-se: $\overrightarrow{{{C}_{2}}T}\,.\,\overrightarrow{TP}=0$.
Logo, vem: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{{{C}_{2}}T}\,.\,\overrightarrow{TP}=0 & \Leftrightarrow & (-2,-1,-2).(x-1,y-8,z-1)=0 \\
{} & \Leftrightarrow & -2x+2-y+8-2z+2=0 \\
{} & \Leftrightarrow & -2x-y-2z+12=0 \\
{} & \Leftrightarrow & 2x+y+2z-12=0 \\
\end{array}\]
Portanto, $2x+y+2z-12=0$ é uma equação do plano pretendido.
- Na figura ao lado está representada a secção produzida (segmento de recta [AA’]) na base do cilindro contida no plano xOz.
Ora, $\overline{AB}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{1}^{2}}}=2\sqrt{2}$.
Logo, o perímetro da secção obtida é $P=2\times (4\sqrt{2}+12)=(24+8\sqrt{2})\,cm$.
