Um octaedro
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 189 Ex. 64
Considere o referencial o.n. (O,x,y,z) e o octaedro regular representado na figura.
As arestas [AC], [CD], [DE] e [EA] estão contidas no plano xOy e o vértice B pertence ao eixo das cotas. O ponto C tem coordenadas $(2,2,0)$.
- Prove que o ponto B tem as coordenadas $(0,0,2\sqrt{2})$.
- Determine uma equação do plano ACB.
- Considere o plano de equação $x+y-2z=4$. Determine a sua intersecção com o plano xOy e mostre que o ponto C pertence a essa intersecção.
- Determine o ângulo que a recta CB faz com CE.
- Prove que o plano mediador de [CB] passa em A.
- Identifique e escreva uma equação do lugar geométrico dos pontos do espaço definido por $\overrightarrow{BP}\,.\,\overrightarrow{PF}=0$.
Sendo o octaedro regular, temos $A\,(2,-2,0)$ e $\overline{AC}=4$.
Logo, $\overline{OB}=\sqrt{{{\overline{BC}}^{2}}-{{\overline{OC}}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}-{{\left( \sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}} \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}$.
Então, $B\,(0,0,2\sqrt{2})$.
- Sendo $A\,(2,-2,0)$, $B\,(0,0,2\sqrt{2})$ e $C\,(2,2,0)$, então $\overrightarrow{AB}=(-2,2,2\sqrt{2})$ e $\overrightarrow{AC}=(0,4,0)$.
Comecemos por determinar um vetor $\vec{n}=(a,b,c)$ normal ao plano ACB, isto é , um vetor $\vec{n}=(a,b,c)$ tal que $\vec{n}\bot \overrightarrow{AB}\wedge \vec{n}\bot \overrightarrow{AC}$ .
Ora,
$\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\vec{n}.\overrightarrow{AB}=0 \\
\vec{n}.\overrightarrow{AC}=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-2a+2b+2\sqrt{2}c=0 \\
4b=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=\sqrt{2}c \\
b=0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$.Logo, $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=(\sqrt{2},0,1)$, por exemplo, é um vetor normal ao plano ACB.
Sendo assim, a equação do plano ACB é da forma $\sqrt{2}x+z+d=0$.
Como o ponto C é um ponto desse plano, então $0+2\sqrt{2}+d=0\Leftrightarrow d=-2\sqrt{2}$.Logo, $\sqrt{2}x+z-2\sqrt{2}=0$ é uma equação do plano ACB.
- O plano xOy pode ser definido por $z=0$.
Ora,
$\begin{array}{*{35}{l}}
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+y-2z=4 \\
z=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x+y=4 \\
z=0 \\
\end{array} \right. & \Leftrightarrow & \begin{matrix}
x+y=4 & \wedge & z=0 \\
\end{matrix} \\
\end{array}$.Portanto, $\begin{matrix}
x+y=4 & \wedge & z=0 \\
\end{matrix}$ define a reta de intersecção dos dois planos.O ponto C pertence a essa reta, pois as suas coordenadas verificam a condição anterior: $\begin{matrix}
2+2=4 & \wedge & 0=0 \\
\end{matrix}$.
- Como $B\,(0,0,2\sqrt{2})$, $C\,(2,2,0)$ e $E(-2,-2,0)$, então $\overrightarrow{CB}=(-2,-2,2\sqrt{2})$ e $\overrightarrow{CE}=(-4,-4,0)$.
Logo, \[\cos (\overrightarrow{CB}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\overrightarrow{CE})=\frac{(-2,-2,2\sqrt{2}).(-4,-4,0)}{\sqrt{4+4+8}\times \sqrt{16+16}}=\frac{8+8+0}{4\times 4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
Portanto, a amplitude do ângulo entre as retas CB e CE é $\alpha =\overrightarrow{CB}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\overrightarrow{CE}=45{}^\text{o}$.
(Note que [EBCF] é um quadrado, logo as suas diagonais fazem ângulos de 45º com os seus lados.)
- O ponto A pertence ao plano mediador do segmento [CB], pois $\overline{AB}=\overline{AC}$, visto as arestas de um octaedro regular serem geometricamente iguais.
- A condição $\overrightarrow{BP}\,.\,\overrightarrow{PF}=0$ define a superfície esférica de diâmetro [BF].
Com efeito, temos: \[\begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{BP}\,.\,\overrightarrow{PF}=0 & \Leftrightarrow & (x,y,z-2\sqrt{2}).(x,y,z+2\sqrt{2})=0 \\
{} & \Leftrightarrow & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-{{(2\sqrt{2})}^{2}}=0 \\
{} & \Leftrightarrow & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=8 \\
\end{array}\]
