Equações das assíntotas
Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 33 Ex. 7
- Indique, por observação do gráfico, as equações das assíntotas de cada uma das seguintes funções:
- Faça corresponder a cada um dos gráficos das alíneas anteriores uma das seguintes funções:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = \frac{{ – x}}{{x + 2}}}&{}&{g\left( x \right) = \frac{{3x – 5}}{{x – 2}}}&{}&{h\left( x \right) = \frac{{x – 2}}{x}}
\end{array}\]
-
Gráfico a):
Assíntota vertical: $x = 0$;
Assíntota horizontal: $y = 1$.Gráfico b):
Assíntota vertical: $x = 2$;
Assíntota horizontal: $y = 3$. (Nota: o gráfico está ligeiramente deslocado para baixo, na vertical.)Gráfico c):
Assíntota vertical: $x = – 2$;
Assíntota horizontal: $y = – 1$. - \[\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) = \frac{{ – x}}{{x + 2}}}&{}&{g\left( x \right) = \frac{{3x – 5}}{{x – 2}}}&{}&{h\left( x \right) = \frac{{x – 2}}{x}} \end{array}\]
O gráfico a) corresponde à função $h$: \[h\left( x \right) = \frac{{x – 2}}{x} = \frac{x}{x} + \frac{{ – 2}}{x} = 1 – \frac{2}{x}\]
Repare que se $x \to {0^ – }$, então $h\left( x \right) \to + \infty $ e se $x \to {0^ + }$, então $h\left( x \right) \to – \infty $.
Logo, a reta de equação $x = 0$ é assíntota vertical bilateral do gráfico de $h$.Repare ainda que se $x \to – \infty $, então $h\left( x \right) \to {1^ + }$ e se $x \to + \infty $, então $f\left( x \right) \to {1^ – }$.
Logo, a reta de equação $y = 1$ é assíntota horizontal do gráfico de $h$ quando $x \to – \infty $ e quando $x \to + \infty $.O gráfico b) corresponde à função $g$: \[g\left( x \right) = \frac{{3x – 5}}{{x – 2}} = \frac{{3x – 6 + 1}}{{x – 2}} = \frac{{3\left( {x – 2} \right)}}{{x – 2}} + \frac{1}{{x – 2}} = 3 + \frac{1}{{x – 2}}\]
Repare que se $x \to {2^ – }$, então $g\left( x \right) \to – \infty $ e se $x \to {2^ + }$, então $g\left( x \right) \to + \infty $.
Logo, a reta de equação $x = 2$ é assíntota vertical bilateral do gráfico de $g$.Repare ainda que se $x \to – \infty $, então $g\left( x \right) \to {3^ – }$ e se $x \to + \infty $, então $f\left( x \right) \to {3^ + }$.
Logo, a reta de equação $y = 3$ é assíntota horizontal do gráfico de $g$ quando $x \to – \infty $ e quando $x \to + \infty $.O gráfico c) corresponde à função $f$: \[f\left( x \right) = \frac{{ – x}}{{x + 2}} = \frac{{ – x – 2 + 2}}{{x + 2}} = \frac{{ – x – 2}}{{x + 2}} + \frac{2}{{x + 2}} = – 1 + \frac{2}{{x + 2}}\]
Repare que se $x \to – {2^ – }$, então $f\left( x \right) \to – \infty $ e se $x \to – {2^ + }$, então $f\left( x \right) \to + \infty $.
Logo, a reta de equação $x = – 2$ é assíntota vertical bilateral do gráfico de $f$.Repare ainda que se $x \to – \infty $, então $f\left( x \right) \to – {1^ – }$ e se $x \to + \infty $, então $f\left( x \right) \to – {1^ + }$.
Logo, a reta de equação $y = – 1$ é assíntota horizontal do gráfico de $f$ quando $x \to – \infty $ e quando $x \to + \infty $.Apresenta-se, de seguida, os gráficos das três funções, representados no mesmo referencial:
