Category: 11.º Ano

Prove que 0

Prove que

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 11

Enunciado

Prove que a função definida por $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ não é monótona no seu domínio.

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A função é estritamente decrescente em ${\mathbb{R}^ – }$, quer em ${\mathbb{R}^ + }$, pois ${x_1} > {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right),\forall x …

Considere a função $g$ 0

Considere a função $g$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 10

Enunciado

Considere a função $g$, definida por: \[g\left( x \right) = 5 + \frac{2}{{x – 3}}\]

  1. Esboce o gráfico de $g$.
     
  2. Indique como se obtém, por meio de uma série de transformações geométricas, o gráfico da função $g$, a partir do gráfico da função $f\left( x \right) =
0

Um ponto $B$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 9

Enunciado

Seja $B$ o ponto de coordenadas $\left( {1,2} \right)$.
A cada ponto $C\left( {x,0} \right)$ do eixo $Ox$, com $x > 1$, faça corresponder um ponto $D\left( {0,y} \right)$ do eixo $Oy$, de modo que $B$, $C$ e $D$ sejam colineares.

  1. Exprima $y$ em função de $x$.
Sabendo que a razão 0

Sabendo que a razão

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 8

Enunciado

Sabendo que a razão \[\frac{{x + 2}}{{x – 5}}\] é um valor maior do que $30$% de $x$, determine o valor de $x$.

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\[\begin{array}{*{20}{l}}
  {\frac{{x + 2}}{{x – 5}} > \frac{3}{{10}}x}& \Leftrightarrow &{\frac{{10x + 20 – 3{x^2} + 15x}}{{10\left( {x – 5} \right)}} > …

Verifique se $\left( {6,3} \right)$ é solução da inequação 0

Verifique se $\left( {6,3} \right)$ é solução da inequação

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 7

Enunciado

Verifique se $\left( {6,3} \right)$ é solução da inequação \[y \leqslant \frac{{2x + 3}}{x}\]

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Substituindo na inequação \[y \leqslant \frac{{2x + 3}}{x}\] $x$ por $6$ e $y$ por $3$, vem:

\[3 \leqslant \frac{{2 \times 6 + 3}}{6} \Leftrightarrow 3 \leqslant \frac{{15}}{6} \Leftrightarrow 3 \leqslant …

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 49 Ex. 6

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as seguintes inequações:

  1. \[\frac{{3x + 2}}{{x + 3}} >  – \frac{2}{3}\]
     
  2. \[\frac{{x + 1}}{{x – 1}} – \frac{{x – 1}}{{x + 1}} > 0\]
     
  3. \[\frac{{a – 2}}{a} < \frac{{a – 4}}{{a – 6}}\]

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  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\frac{{3x + 2}}{{\mathop {x + 3}\limits_{\left( 3
0

Uma plataforma petrolífera

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 5

Enunciado

Para construir uma plataforma petrolífera, o custo aproximado por tonelada é dado, em euros, para $x$ mil toneladas, por:

\[C\left( x \right) = \frac{{312000,5}}{{x + 625}}\]

  1. Qual é o custo por tonelada para $30$ mil toneladas?
     
  2. Quantas mil toneladas tem a plataforma, se o custo por tonelada
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Número de horas de estudo

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 4

Enunciado

A função \[E\left( x \right) = \frac{{0,32x}}{{100,5 – x}}\] permite determinar o número de horas de estudo, $E\left( x \right)$, necessárias para obter num teste um resultado $x$, entre $0$ e $100$ (em percentagem).

  1. Quantas horas de estudo são necessárias para se obter $85$ (em percentagem)?
    Apresente
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Escreva uma equação fracionária

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 3

Enunciado

Escreva uma equação fracionária que admita $2$ e $-3$ como soluções.

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Comecemos por considerar uma equação que admita $2$ e $-3$ como soluções:

\[\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\]

Desenvolvendo o primeiro membro da equação, vem:

\[{x^2} + x …

Considere as funções ${y_1}$ e ${y_2}$ 0

Considere as funções ${y_1}$ e ${y_2}$

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 2

Enunciado

Considere as funções \[\begin{array}{*{20}{c}}
  {{y_1} = \frac{{2x – 5}}{{x – 3}}}&{\text{e}}&{{y_2} = \frac{{x + 7}}{{3x + 2}}}
\end{array}\]

  1. Escreva as expressões analíticas de ${y_1}$ e ${y_2}$ na forma \[y = a + \frac{b}{{cx + d}}\]
     
  2. Represente graficamente as funções.
     
  3. Relacione o parâmetro $a$ com as equações das
Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações 0

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 48 Ex. 1

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações:

  1. $a – \frac{5}{a} = 4$
     
  2. $\frac{9}{{x + 5}} = \frac{3}{{x – 3}}$
     
  3. $\frac{{x + 4}}{x} + \frac{3}{{x + 3}} =  – \frac{{16}}{{{x^2} – 4x}}$

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  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {\mathop a\limits_{\left( a \right)}  – \frac{5}{a} = \mathop 4\limits_{\left( a \right)} }& \Leftrightarrow &{\frac{{{a^2}
Resolva as inequações 0

Resolva as inequações

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 39 Ex. 13

Enunciado

Resolva, em $\mathbb{R}$, as equações:

  1. $5 + \frac{1}{x} > \frac{{16}}{x}$
     
  2. $1 + \frac{5}{{x – 1}} \leqslant \frac{7}{6}$
     
  3. $\frac{{{x^2} – 16}}{{{x^2} – 4x + 5}} \geqslant 0$

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  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {5 + \frac{1}{x} > \frac{{16}}{x}}& \Leftrightarrow &{\frac{{5x + 1 – 16}}{x} > 0} \\
      {}& \Leftrightarrow &{\frac{{5x
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Quantos alunos foram almoçar?

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 36 Ex. 12

Enunciado

Um grupo de alunos de uma turma resolveu ir almoçar no último dia de aulas. No final, a conta paga foi de $60$ €.

Como dois desses alunos não tinham dinheiro, os outros resolveram a questão dando cada um mais $8$ €.

Quantos alunos foram almoçar?

Resolução

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Mais assíntotas

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 33 Ex. 8

Enunciado

Escreva as equações das assíntotas dos gráficos das funções racionais seguintes:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
  {f\left( x \right) = \frac{{ – 2}}{{x – 2}}}&{}&{g\left( x \right) = \frac{{x – 7}}{{x + 2}}}&{}&{h\left( x \right) = \frac{{3x – 3}}{{2x + 4}}}
\end{array}\]

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\[\begin{array}{*{20}{l}}
  {f\left( x \right) = \frac{{ …

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Equações das assíntotas

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 33 Ex. 7

Enunciado

  1. Indique, por observação do gráfico, as equações das assíntotas de cada uma das seguintes funções:
     
     
  2. Faça corresponder a cada um dos gráficos das alíneas anteriores uma das seguintes funções:
    \[\begin{array}{*{20}{l}}
      {f\left( x \right) = \frac{{ – x}}{{x + 2}}}&{}&{g\left( x \right) = \frac{{3x – 5}}{{x – 2}}}&{}&{h\left(
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A Patrícia, usando o GeoGebra

Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 209 Ex. 99

Enunciado

A Patrícia, usando o GeoGebra, construiu os gráficos das funções perímetro e área do triângulo [OBD], como mostra a figura.

O ponto D é um ponto móvel sobre a semicircunferência, cujo diâmetro mede 4 cm, e x é o comprimento de [BD].

  1. A Patrícia esqueceu-se de identificar
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A intensidade do som

Função potência: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 209 Ex. 98

Enunciado

A intensidade do som pode ser medida em Watt por metro quadrado, medida da pressão que o som exerce sobre o nosso ouvido. A intensidade do som emitido por uma aparelhagem sonora é função da distância a que o ouvinte se encontra das colunas de som. …

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Considere as funções

Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 208 Ex. 94

Enunciado

Considere as funções definidas em $\mathbb{R}$ por:

$f(x)=\frac{3x}{{{x}^{2}}-4}$ $f(x)=\frac{{{x}^{2}}}{x+2}$ $f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}-4}$
$f(x)=\left| {{x}^{2}}-4 \right|$ $f(x)=\frac{{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}}$

$f(x)=\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-9}$

  • Determine o domínio das funções dadas.
     
  • Calcule, para cada uma delas: $f(-x)$, $f(x-2)$ e $-f(x)$.
     
  • Algumas das funções é par? E ímpar?

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  • $f(x)=\frac{3x}{{{x}^{2}}-4}$
     
    ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{2}}-4\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{
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A função polinomial definida por $f(x)={{x}^{4}}$ não é injectiva

Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 208 Ex. 93

Enunciado

A função polinomial definida por $f(x)={{x}^{4}}$ não é injectiva.

Encontre uma restrição g da função f de modo que g seja injectiva.

Caracterize ${{g}^{-1}}$.

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Uma restrição g, injectiva, da função f pode ser, por exemplo: \[\begin{matrix}
   g: & \mathbb{R}_{0}^{+}\to \mathbb{R}  \\
   {} & x\to …

Sendo f e g funções reais de variável real 0

Sendo f e g funções reais de variável real

Funções com radicais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 206 Ex. 85

Enunciado

Sendo f e g funções reais de variável real, caracterize $f\circ g$ e $g\circ f$, em cada um dos casos:

  1. $\begin{matrix}
       f(x)=\sqrt{x} & \text{e} & g(x)={{x}^{2}}+1  \\
    \end{matrix}$
     
  2. $\begin{matrix}
       f(x)={{(x-1)}^{3}} & \text{e} & g(x)=\sqrt[3]{x}+1  \\
    \end{matrix}$

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  1. Ora, ${{D}_{f\circ g}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x\in {{D}_{g}}\wedge g(x)\in {{D}_{f}}