Determine as assíntotas do gráfico das seguintes funções

Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 51 Ex. 8

by AMMA · Published 6 de Fevereiro de 2014 · Updated 22 de Janeiro de 2022

Enunciado

Determine as assíntotas do gráfico de cada uma das seguintes funções:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{x + 3}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{{2{x^2} – 7x + 3}}{{x – 3}}}
\end{array}\]

Resolução

\[{f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{x + 3}}}\]

${D_f} = \left\{ {x \in \mathbb{R}:x + 3 \ne 0} \right\} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3} \right\}$

\[f\left( x \right) = \frac{{2x – 1}}{{x + 3}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right) – 7}}{{x + 3}} = 2 + \frac{{ – 7}}{{x + 3}}\]

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} f\left( x \right) = + \infty }&{\text{e}}&{\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} f\left( x \right) = – \infty }
\end{array}\]

Logo, a reta de equação $x = – 3$ é uma assíntota vertical bilateral do gráfico de $f$.

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = {2^ + }}&{\text{e}}&{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {2^ – }}
\end{array}\]

Logo, a reta de equação $y = 2$ é uma assíntota horizontal do gráfico de $f$, quando ${x \to – \infty }$ e quando ${x \to + \infty }$.

\[{g\left( x \right) = \frac{{2{x^2} – 7x + 3}}{{x – 3}}}\]

${D_g} = \left\{ {x \in \mathbb{R}:x – 3 \ne 0} \right\} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$

\[g\left( x \right) = \frac{{2{x^2} – 7x + 3}}{{x – 3}} = \frac{{2\left( {x – 3} \right)\left( {x – \frac{1}{2}} \right)}}{{x – 3}} = 2x – 1\]

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \left( {2x – 1} \right) = {5^ – }}&{\text{e}}&{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {2x – 1} \right) = {5^ + }}
\end{array}\]

Logo, o gráfico da função $g$ não tem qualquer assíntota vertical.

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {2x – 1} \right) = – \infty }&{\text{e}}&{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x – 1} \right) = + \infty }
\end{array}\]

Logo, o gráfico da função $g$ não admite qualquer assíntota horizontal.