Uma peça de forma cilíndrica
Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 51 Ex. 6
Enunciado
Uma empresa de alumínio pretende fabricar uma peça de forma cilíndrica, com capacidade de $500$ cm3.
As tampas superior e inferior são feitas de alumínio especial que custa $5$ cêntimos por centímetro quadrado.
A superfície lateral é feita de material mais barato, que custa $2$ cêntimos por centímetro quadrado.
- Exprima o custo $C$ da peça em função do raio $r$ da base.
- Faça uma representação gráfica da função $C$.
- Qual é o de $r$ para o qual a peça é mais barata?
Indique o valor aproximado ao milímetro. - Qual é o custo mínimo da peça?
Resolução
- Considerando que a peça tem capacidade de $500$ cm3 e designando por $r$ e por $h$, respetivamente, o raio da base e a altura da peça, em centímetros, temos: \[\pi {r^2}h = 500 \Leftrightarrow h = \frac{{500}}{{\pi {r^2}}}\]
Em centímetros quadrados, a área da superfície total da peça pode ser expressa por: \[{A_T} = 2\pi {r^2} + 2\pi r \times \frac{{500}}{{\pi {r^2}}} = \underbrace {2\pi {r^2}}_{{A_{2B}}} + \underbrace {\frac{{1000}}{r}}_{{A_L}}\]
Assim, o custo da peça, em cêntimos, é dado por: \[C\left( r \right) = 10\pi {r^2} + \frac{{2000}}{r}\]
-
- A peça mais barata é obtida para $r \approx 3,2$ cm.
- O custo mínimo da peça é, aproximadamente, $9,47$ euros.
