Determine o conjunto solução de cada uma das condições
Funções racionais: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 52 Ex. 12
Enunciado
Considere a função $f$ definida por: \[f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} – 3x + 2}}\]
Determine o conjunto solução de cada uma das inequações:
- $f\left( x \right) > 0$
- $f\left( {x – 2} \right) > 0$
Resolução
- Ora, tem-se sucessivamente:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) > 0}& \Leftrightarrow &{\frac{x}{{{x^2} – 3x + 2}} > 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{\frac{x}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)}} > 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 0} \\
{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) < 0}
\end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) > 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x < 0} \\
{x \in \left] {1,2} \right[}
\end{array}} \right.}& \vee &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{x \in \left] { – \infty ,1} \right[ \cup \left] {2, + \infty } \right[}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{x \in \emptyset }& \vee &{x \in \left] {0,1} \right[ \cup \left] {2, + \infty } \right[}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{x \in \left] {0,1} \right[ \cup \left] {2, + \infty } \right[}
\end{array}\] - Seja $g\left( x \right) = f\left( {x – 2} \right)$.
Ora, o gráfico da função $g$ pode obter-se a partir do gráfico de $f$ por uma translação associada ao vetor de coordenadas $\left( {2,0} \right)$.Assim, como o conjunto solução da condição ${f\left( x \right) > 0}$ é ${S_1} = \left] {0,1} \right[ \cup \left] {2, + \infty } \right[$, então o conjunto solução da condição $f\left( {x – 2} \right) > 0 \Leftrightarrow g\left( x \right) > 0$ será ${S_2} = \left] {2,3} \right[ \cup \left] {4, + \infty } \right[$.
