Três funções: $f$, $g$ e $\frac{f}{g}$

Sejam $f$ e $g$ duas funções definidas por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = {x^2} – 4}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = x + 2}
\end{array}\]

Caracterize a função $\frac{f}{g}$ e estude o seu sinal, relacionando-o com o sinal quer da função $f$ quer da função $g$.

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Comecemos por determinar o domínio de $\frac{f}{g}$:

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{D_{\frac{f}{g}}}}& = &{{D_f} \cap {D_g} \cap \left\{ {x \in \mathbb{R}:g\left( x \right) \ne 0} \right\}} \\
{}& = &{\mathbb{R} \cap \mathbb{R} \cap \left\{ {x \in \mathbb{R}:x + 2 \ne 0} \right\}} \\
{}& = &{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}}
\end{array}\]

 Determinemos, agora, $\frac{f}{g}\left( x \right)$:

\[\frac{f}{g}\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{x + 2}} = x – 2,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}\]Logo:

\[\begin{array}{*{20}{r}}
{\frac{f}{g}:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to x – 2}
\end{array}\]

• ${\frac{f}{g}}$ é negativa no intervalo $\left] { – \infty , – 2} \right[$, pois neste intervalo $f$ e $g$ são de sinais contrários;
• ${\frac{f}{g}}$ não está definida em $x = – 2$, pois este valor é zero de $g$;
• ${\frac{f}{g}}$ é negativa no intervalo $\left] { – 2,2} \right[$, pois neste intervalo $f$ e $g$ são de sinais contrários;
• ${\frac{f}{g}}$ é nula em $x = 2$, pois este valor é zero de $f$ e $g\left( 2 \right) > 0$;
• ${\frac{f}{g}}$ é positiva no intervalo $\left] {2, + \infty } \right[$, pois neste intervalo $f$ e $g$ são do mesmo sinal.