Uma circunferência e duas retas concorrentes

by AMMA · Published 25 de Janeiro de 2018 · Updated 17 de Janeiro de 2022

Enunciado

Considera a circunferência de centro O e duas retas concorrentes CD e AB cujo ponto de interseção é E.

Sabe-se que \(\overparen{DB} = 3\overparen{AC}\) e \(\overparen{CB} = \overparen{AD} = 100^\circ \).

Resolução

Tendo em consideração que a amplitude de um arco completo de circunferência é igual a \(360^\circ \), vem:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overparen{DB} = 3\overparen{AC}}\\{\overparen{AC} + 100^\circ + \overparen{BD} + 100^\circ = 360^\circ }\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overparen{DB} = 3\overparen{AC}}\\{\overparen{AC} + 3\overparen{AC} = 160^\circ }\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overparen{AC} = 40^\circ }\\{\overparen{DB} = 120^\circ }\end{array}} \right.}\end{array}\]
Tendo em consideração a relação entre a amplitude de um ângulo inscrito e a do arco compreendido entre os seus lados, bem como que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus, vem:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{D\widehat CB = \frac{{\overparen{BD}}}{2} = \frac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ }\\{A\widehat BC = \frac{{\overparen{AC}}}{2} = \frac{{40^\circ }}{2} = 20^\circ }\\{B\widehat EC = 180^\circ – \left( {D\widehat CB + A\widehat BC} \right) = 180^\circ – \left( {60^\circ + 20^\circ } \right) = 100^\circ }\end{array}\]