Category: Geometria Analítica

Dados três pontos 0

Dados três pontos

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 184 Ex. 44

Enunciado

Sejam $A\,(2,0,0,)$, $B\,(-4,0,0)$ e $C\,(0,6,0)$ três pontos dados pelas suas coordenadas num referencial ortonormado.

  1. Determine as equações dos planos mediadores dos segmentos de recta [AB], [BC] e [CA].
     
  2. Mostre que estes planos têm uma recta comum e indique uma equação desta recta.
     
  3. Determine as coordenadas do ponto
Posição de uma recta em relação a um plano 0

Posição de uma recta em relação a um plano

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 184 Ex. 43

Enunciado

Considere o plano de equação $x-y+z-3=0$ e a recta que passa por $A\,(1,1,1)$ e tem a direcção do vector $\vec{u}\,(1,-1,1)$ .

  1. Qual a posição relativa da recta em relação ao plano? Justifique.
     
  2. Determine o ponto de intersecção da recta com o plano.

Resolução >> Resolução

  1. Um vector
0

Uma pirâmide quadrangular regular

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 184 Ex. 42

Enunciado

Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular.

A base da pirâmide está contida no plano de equação $z=4$.

  • O vértice A pertence ao eixo Oz.
  • O vértice B pertence ao plano yOz.
  • O vértice D pertence ao plano xOz.
  • O vértice C
Equações cartesianas de duas rectas 0

Equações cartesianas de duas rectas

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 184 Ex. 41

Enunciado

Seja um referencial ortonormado $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

Dados os pontos $A\,(2,3,-1)$ e $B\,(2,-1,4)$ e o vector $\vec{u}\,(1,4,-2)$ , determine:

  1. uma equação vectorial da recta que passa em A e é paralela a ${\vec{u}}$ ;
  2. equações cartesianas da recta que passa em A e tem a direcção de ${\vec{u}}$ ;
0

Uma escada com três degraus

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 183 Ex. 40

Enunciado

A figura representa uma escada com três degraus em madeira.

Sabe-se que a largura da escada é 80 cm e que se gasta 1m2 de madeira para a construir [parte colorida].

Sabendo que o ângulo α é tal que $tg\,\alpha =\frac{3}{4}$, determine x, p e …

Procure uma solução para a seguinte condição e apresente uma interpretação geométrica 0

Procure uma solução para a seguinte condição e apresente uma interpretação geométrica

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 183 Ex. 39

Enunciado Procure uma solução para a seguinte condição e apresente uma interpretação geométrica para o resultado que encontrar:

  1. $\begin{matrix}    2x-3y-2z=2 & \wedge  & 4x-3y+z=4 & \wedge  & 2x+12y-7z=2  \\ \end{matrix}$  
  2. $\begin{matrix}    5x+y+z=-5 & \wedge  & 2x+13y-7z=-1 & \wedge  & x-y+z=1  \\ \end{matrix}$

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  1.   \[\begin{array}{*{35}{l}}    \begin{array}{*{35}{r}}    (-2\times
Resolva, classifique e interprete geometricamente as soluções dos seguintes sistemas 0

Resolva, classifique e interprete geometricamente as soluções dos seguintes sistemas

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 183 Ex. 38

Enunciado Resolva, classifique e interprete geometricamente as soluções dos seguintes sistemas:

  1. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x+y=0  \\    x+y+z=3  \\    x-z=1  \\ \end{array} \right.$
     
  2. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    a-b-c=3  \\    2a-b+2c=2  \\    a+10b-3c=5  \\ \end{array} \right.$
     
  3. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    2a-3b-2c=2  \\    4a-3b+c=4  \\    2a+12b-7c=2  \\ \end{array} \right.$
     
  4. $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    2y+z-x=0  \\    x+y-2z=5  \\    x+\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}z=\frac{15}{2} 
Determine a intersecção dos planos α, β e γ 0

Determine a intersecção dos planos α, β e γ

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 183 Ex. 37

Enunciado Determine a intersecção dos planos α, β e γ, tais que:

  1. α: $2x-y+z-1=0$, β: $5x-3y+2z=5$ e γ: $4x-3y+7z=7$
     
  2. α: $x+y-z=0$, β: $x-y+z=0$ e γ: $3x+y-z=0$

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  1.   \[\begin{array}{*{35}{l}}    \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    2x-y+z-1=0  \\    5x-3y+2z=5  \\    4x-3y+7z=7  \\ \end{array} \right. & \Leftrightarrow  & \begin{array}{*{35}{r}}    -3\times   \\    +  \\   
Pontos pertencentes a um plano dado 0

Pontos pertencentes a um plano dado

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 183 Ex. 36

Enunciado

  1. Averigúe se o ponto $A(-7,-3,-1)$ pertence ao plano de equação $x-2y-3z=2$.
     
  2. Determine as coordenadas de dois pontos do plano de equação $3x-y+4z=10$.

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  1. Como $-7-2\times (-3)-3\times (-1)=2\Leftrightarrow -7+6+3=2\Leftrightarrow 2=2$ (P.V.), o ponto A pertence ao plano dado, pois as suas coordenadas verificam a equação do
Escreva uma equação cartesiana do plano 1

Escreva uma equação cartesiana do plano

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 35

Enunciado

Seja $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ um referencial ortonormado.

Escreva uma equação cartesiana do plano:

  1. que passa pelo ponto $A(3,1,2)$ e é perpendicular a $\vec{u}(3,41)$ ;
     
  2. que contém os pontos $A(3,0,0)$, $B(0,5,0)$ e $C(0,0,4)$;
     
  3. que passa por $A(2,1,5)$ e é paralelo aos vectores $\vec{u}(1,0,4)$  e $\vec{v}(2,-1,3)$ .

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  1. var
Um vector perpendicular a outros dois 0

Um vector perpendicular a outros dois

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 34

Enunciado

Num referencial ortonormado do espaço, indique um vector que seja perpendicular a $\vec{u}(1,4,7)$  e a $\vec{v}(2,-1,5)$ .
Observe que qualquer outro vector nas mesmas condições é colinear com ele.

Resolução >> Resolução

var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":256, "height":192, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 | 1 …

0

Um domínio plano

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 33

Enunciado

Na figura está representado um referencial o. m. Oxy.

  • A circunferência de centro C é tangente ao eixo das ordenadas e à recta t, em T.
  • O ponto C tem coordenadas (-5,2).
  • A abcissa de T é -9.
  1. Prove que a ordenada de T é 5.
     
  2. Prove
0

Escreva uma condição que caracterize o domínio plano

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 182 Ex. 32

Enunciado

Escreva uma condição que caracterize cada um dos domínios planos coloridos:

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  1. As equações das rectas que contêm os lados do triângulo são:

    – recta horizontal: $y=2$

    – recta vertical: $x=5$

    – recta oblíqua:

    A recta contém os pontos $A(-2,2)$ e $B(5,5)$. Logo, o declive

Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento [AB] 0

Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento [AB]

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 31

Enunciado

Determine uma equação cartesiana do plano mediador do segmento [AB], sendo:

  1. $A(4,-1,2)$ e $B(2,7,0)$.
     
  2. $A(-4,1,7)$ e $B(3,2,-5)$.

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  1. var parameters = { "id": "ggbApplet", "width":283, "height":277, "showMenuBar":false, "showAlgebraInput":false, "showToolBar":false, "customToolBar":"0 39 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 ,
Identifique o conjunto de pontos do plano definidos pela condição 0

Identifique o conjunto de pontos do plano definidos pela condição

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 30

Enunciado

Sendo $A(0,9)$ e $B(-8,2)$, identifique o conjunto de pontos $P(x,y)$ do plano que verificam a condição:

  1. $\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BP}=0$;
     
  2. $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{AM}=0$, sendo M o ponto médio de [AB].

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  1. Tente identificar o lugar geométrico definido pela condição $\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{BP}=0$.
    Caso não consiga, execute a animação sem activar “Mostrar lugar
Equação de uma recta que passa em A e é perpendicular a r 0

Equação de uma recta que passa em A e é perpendicular a r

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 29

Enunciado

Considere, num referencial o. n. $(O,\vec{i},\vec{j})$, a recta r de equação $(x,y)=(3,2)+k(-3,-1),k\in \mathbb{R}$ e o ponto $A(-1,4)$.

  1. Determine a equação reduzida da recta s, perpendicular a r e que passa em A.
     
  2. Desenhe um quadrado de vértice A, com um lado sobre a recta s
Circunferência circunscrita no triângulo [ABC] 1

Circunferência circunscrita no triângulo [ABC]

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 28

Enunciado

Considere o triângulo [ABC], sendo $A(-5,1)$, $B(1,3)$ e $C(3,1)$.

  1. Escreva uma equação cartesiana da mediatriz do lado [AB].
     
  2. Escreva uma equação cartesiana da mediatriz do lado [BC].
     
  3. Determine as coordenadas do ponto de intersecção das medianas determinadas (circuncentro ou centro da circunferência circunscrita no triângulo).
     
  4. Escreva uma
Uma circunferência e uma recta que lhe é tangente 0

Uma circunferência e uma recta que lhe é tangente

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 27

Enunciado

Num referencial o. n. $(O,\vec{i},\vec{j})$, considere a circunferência de equação ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+4y+4=0$.

  1. Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência.
     
  2. Determine uma equação da recta tangente à circunferência no ponto $A(0,-2)$.

Resolução >> Resolução

  1. Ora, \[\begin{array}{*{35}{l}}
       {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+4y+4=0 & \Leftrightarrow  & {{(x+1)}^{2}}-1+{{(y+2)}^{2}}-4+4=0  \\
       {} & \Leftrightarrow  &
Circunferência circunscrita num triângulo 0

Circunferência circunscrita num triângulo

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 181 Ex. 26

Enunciado

Considere um referencial o. n. $(O,\vec{i},\vec{j})$.

Escreva uma equação da circunferência circunscrita ao triângulo, cujos lados estão sobre as rectas de equação $y=0$, $x=0$ e $y=x+4$.

Resolução >> Resolução

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Equação da recta tangente a uma circunferência 0

Equação da recta tangente a uma circunferência

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 25

Enunciado

  1. Verifique que $A(1,-2)$ é o ponto da circunferência C: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-2y-3=0$ e escreva uma equação da recta tangente a C em A.
     
  2. Determine uma equação da recta tangente à circunferência de centro $D(3,4)$ no ponto $E(1,2)$.

Resolução >> Resolução

  1. O ponto A pertence à circunferência C, pois as
Escreva uma equação da circunferência 0

Escreva uma equação da circunferência

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 24

Enunciado

Sendo $A(2,1)$ e $B(-2,3)$, escreva uma equação da circunferência:

  1. de centro A e que passa no ponto B;
     
  2. de diâmetro [AB].

Resolução >> Resolução

  1. O raio da circunferência é $r=\overline{AB}=\sqrt{{{(-2-2)}^{2}}+{{(3-1)}^{2}}}=2\sqrt{5}$ e o centro é $A(2,1)$.

    Logo, uma equação dessa circunferência é ${{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=20$.
     
     

  2. O centro da circunferência é
Considere os pontos A, B e C 0

Considere os pontos A, B e C

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 23

Enunciado

Considere os pontos $A(5,1)$, $B(-3,2)$ e $C(3,-2)$.

  1. Escreva uma equação cartesiana da recta que contém a altura do triângulo [ABC] relativa a A.
     
  2. Calcule a área do triângulo [ABC].

Resolução >> Resolução

  1. A recta pedida passa em A e é perpendicular à recta BC.

    Como $\overrightarrow{BC}=(6,-4)$, então

Averigúe se são ou não perpendiculares as rectas r e s 0

Averigúe se são ou não perpendiculares as rectas r e s

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 22

Enunciado

Averigúe se são ou não perpendiculares as rectas r e s de equações:

  1. r: $y=2x-3$ e s: $y=-x+\frac{1}{2}$;
     
  2. r: $x=3$ e s: $y=4$;
     
  3. r: $2x+3y-1=0$ e s: $3x-2y+7=0$.

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  1. O declive da recta r é ${{m}_{r}}=2$ e o declive da recta s é ${{m}_{s}}=-1$.
    Logo,
Escreva uma equação da recta… 0

Escreva uma equação da recta…

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 21

Enunciado

Seja $(O,\vec{i},\vec{j})$ um referencial o.n. do plano.

  1. Escreva uma equação da recta que passa no ponto $A(2,3)$ e é perpendicular a $\vec{u}(-1,4)$ .
     
  2. Escreva uma equação da recta que passa em $B(-3,4)$ e é perpendicular à recta de equação $2x-5y+1=0$.
     
  3. Sejam $A(2,1)$ e $B(1,5)$ dois pontos do
Calcule a amplitude do ângulo formado pela diagonal do cubo com qualquer das suas arestas 0

Calcule a amplitude do ângulo formado pela diagonal do cubo com qualquer das suas arestas

Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 180 Ex. 20

Enunciado

Seja $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ um referencial o. n. do espaço.

  1. Calcule a amplitude do ângulo formado pela diagonal de um cubo com qualquer das suas arestas.
     
  2. O vector ${\vec{u}}$  é tal que $\vec{u}=2\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}$.
    Indique, em radianos, uma medida de $(\vec{u}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\vec{i})$, de $(\vec{u}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\vec{j})$ e de $(\vec{u}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\vec{k})$.

Resolução