Considere o plano α
Geometria Analítica: Infinito 11 A - Parte 1 Pág. 187 Ex. 55
Considere o plano $\alpha $: $x+2y-2z+7=0$.
- Determine os pontos de intersecção de $\alpha $ com os três eixos coordenados.
- Calcule a amplitude do ângulo formado por Oz com qualquer reta normal ao plano dado.
(Aproxime o resultado à décima do grau.)
- O eixo Ox pode ser definido pela condição: $y=0\wedge z=0$
O eixo Oy pode ser definido pela condição: $x=0\wedge z=0$
O eixo Oz pode ser definido pela condição: $x=0\wedge y=0$
Ponto de intersecção com o eixo Ox: $A\,(-7,0,0)$
\[x+2y-2z+7=0\wedge y=0\wedge z=0\Leftrightarrow x=-7\wedge y=0\wedge z=0\]
Ponto de intersecção com o eixo Oy: $B\,(0,-\frac{7}{2},0)$
\[x+2y-2z+7=0\wedge x=0\wedge z=0\Leftrightarrow x=0\wedge y=-\frac{7}{2}\wedge z=0\]
Ponto de intersecção com o eixo Oz: $C\,(0,0,\frac{7}{2})$
\[x+2y-2z+7=0\wedge x=0\wedge y=0\Leftrightarrow x=0\wedge y=0\wedge z=\frac{7}{2}\]
-
Um vetor normal ao plano $\alpha $ é $\vec{n}=(1,2,-2)$ .
Ora,
\[\cos (\vec{n}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\vec{k})=\frac{(1,2,-2).(0,0,1)}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}\times 1}=\frac{-2}{3}=-\frac{2}{3}\]
Logo, $\vec{n}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\vec{k}={{\cos }^{-1}}(-\frac{2}{3})\simeq 131,8{}^\text{o}$, pelo que a amplitude do ângulo pedido é $\beta =180{}^\text{o}-(\vec{n}\overset{\hat{\ }}{\mathop{{}}}\,\vec{k})\simeq 48,2{}^\text{o}$.
