Identifique, no conjunto dos pontos do plano, as imagens dos números complexos $z$

$$\left| {z + 1 + 2i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {z – \left( { – 1 – 2i} \right)} \right| = 2$$

A condição define a circunferência de centro $\left( { – 1, – 2} \right)$, afixo de ${z_1} =  – 1 – 2i$, e raio 2 unidades.

Com efeito, considerando $z = x + yi$, vem:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {\left( {x + yi} \right) – \left( { – 1 – 2i} \right)} \right| = 2}& \Leftrightarrow &{\left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {y + 2} \right)i} \right| = 2} \\
{}& \Leftrightarrow &{\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}}  = 2} \\
{}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2} = 4}
\end{array}$$

$$\left| {z – i + 2} \right| \leqslant 3 \Leftrightarrow \left| {z – \left( { – 2 + i} \right)} \right| \leqslant 3$$

A condição define o círculo de centro $\left( { – 2,1} \right)$, afixo de ${z_1} =  – 2 + i$, e raio 3 unidades.

Com efeito, considerando $z = x + yi$, vem:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {\left( {x + yi} \right) – \left( { – 2 + i} \right)} \right| \leqslant 3}& \Leftrightarrow &{\left| {\left( {x + 2} \right) + \left( {y – 1} \right)i} \right| \leqslant 3} \\
{}& \Leftrightarrow &{\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}  \leqslant 3} \\
{}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2} \leqslant 9}
\end{array}$$

$$\left| {z + 2 – 4i} \right| = \left| {2i – z} \right| \Leftrightarrow \left| {z – \left( { – 2 + 4i} \right)} \right| = \left| {z – 2i} \right|$$

Note que $\left| {2i – z} \right| = \left| {z – 2i} \right|$, pois dois números complexos simétricos têm iguais módulos.

A condição define a mediatriz do segmento de reta de extremos $\left( { – 2,4} \right)$ e $\left( {{\text{0}}{\text{,2}}} \right)$, afixos de ${z_1} =  – 2 + 4i$ e de ${z_2} = 2i$, respetivamente.

Com efeito, considerando $z = x + yi$, vem:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {\left( {x + yi} \right) – \left( { – 2 + 4i} \right)} \right| = \left| {\left( {x + yi} \right) – 2i} \right|}& \Leftrightarrow &{\left| {\left( {x + 2} \right) + \left( {y – 4} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {y – 2} \right)i} \right|} \\
{}& \Leftrightarrow &{\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 4} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y – 2} \right)}^2}} } \\
{}& \Leftrightarrow &{{x^2} + 4x + 4 + {y^2} – 8y + 16 = {x^2} + {y^2} – 4y + 4} \\
{}& \Leftrightarrow &{4x – 4y + 16 = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{y = x + 4}
\end{array}$$

$$\left| {\frac{1}{z}} \right| < \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{{\left| z \right|}} < \frac{1}{4}$$

Note que para ${z_2} \ne 0$, tem-se:

$$\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \left| {\frac{{{\rho _1}\operatorname{cis} {\theta _1}}}{{{\rho _2}\operatorname{cis} {\theta _2}}}} \right| = \left| {\frac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}}\operatorname{cis} \left( {{\theta _1} – {\theta _2}} \right)} \right| = \frac{{{\rho _1}}}{{{\rho _2}}} = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}$$

Assim, temos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| {\frac{1}{z}} \right| < \frac{1}{4}}& \Leftrightarrow &{\frac{1}{{\left| z \right|}} < \frac{1}{4}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{\left| z \right| > 4}& \wedge &{z \ne 0}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\left| z \right| > 4}
\end{array}$$

Portanto, a condição define o exterior da circunferência de centro na origem e raio 4 unidades:

$${x^2} + {y^2} > 16$$

$$z.\overline z  = z + \overline z $$

Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{z.\overline z  = z + \overline z }& \Leftrightarrow &{{{\left| {\text{z}} \right|}^2} = 2 \times \operatorname{Re} \left( z \right)}
\end{array}$$

Assim, considerando $z = x + yi$, temos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + {y^2} = 2x}& \Leftrightarrow &{{x^2} – 2x + {y^2} = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 1} \right)}^2} – 1 + {y^2} = 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2} = 1}
\end{array}$$

Portanto, a condição define a circunferência de centro em $\left( {1,0} \right)$ e raio 1 unidade.

$$2\left| {{\text{z – 1}}} \right| \leqslant \left| {{\text{z + 2}}} \right|$$

Note que, caso o fator $2$ no 1.º membro fosse $1$, a condição definia um semiplano vertical fechado, determinado pela mediatriz do segmento de reta de extremos $\left( {1,0} \right)$ e $\left( { – 2,0} \right)$, afixos de ${z_1} = 1 + 0i$ e de ${z_2} =  – 2 + 0i$, respetivamente.

Considerando $z = x + yi$, temos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{2\left| {\left( {{\text{x + yi}}} \right){\text{ – 1}}} \right| \leqslant \left| {\left( {x + yi} \right){\text{ + 2}}} \right|}& \Leftrightarrow &{2\left| {\left( {x – 1} \right) + {\text{y}}i} \right| \leqslant \left| {\left( {x + 2} \right) + y{\text{i}}} \right|} \\
{}& \Leftrightarrow &{2\sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2}}  \leqslant \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} } \\
{}& \Leftrightarrow &{4\left( {{{\text{x}}^2} – 2x + 1 + {y^2}} \right) \leqslant {x^2} + 4x + 4 + {y^2}} \\
{}& \Leftrightarrow &{3{x^2} – 12x + 3{y^2} \leqslant 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 2} \right)}^2} – 4 + {y^2} \leqslant 0} \\
{}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {y^2} \leqslant 4}
\end{array}$$

Portanto, a condição define o círculo de centro $\left( {2,0} \right)$ e raio 2 unidades.

$$\operatorname{Im} \left( {\frac{1}{{z + 1}}} \right) \geqslant 1$$

Como $$\begin{array}{*{20}{l}}
{\operatorname{Im} \left( {\frac{1}{{z + 1}}} \right) \geqslant 1}& \Leftrightarrow &{\operatorname{Im} \left( {\frac{{\overline {z + 1} }}{{{{\left| {z + 1} \right|}^2}}}} \right) \geqslant 1}
\end{array}$$ considerando $z = x + yi$, temos:

$$\begin{array}{*{20}{l}}
{\operatorname{Im} \left( {\frac{{\overline {\left( {x + yi} \right) + 1} }}{{{{\left| {\left( {x + yi} \right) + 1} \right|}^2}}}} \right) \geqslant 1}& \Leftrightarrow &{\operatorname{Im} \left( {\frac{{\left( {x + 1} \right) – yi}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}}}} \right) \geqslant 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{\frac{{ – y}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}}} \geqslant 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2} \leqslant  – y}& \wedge &{\left( {x \ne  – 1 \wedge y \ne 0} \right)}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + \frac{1}{2}} \right)}^2} – \frac{1}{4} \leqslant 0}& \wedge &{\left( {x \ne  – 1 \wedge y \ne 0} \right)}
\end{array}} \\
{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + \frac{1}{2}} \right)}^2} \leqslant \frac{1}{4}}& \wedge &{\left( {x \ne  – 1 \wedge y \ne 0} \right)}
\end{array}}
\end{array}$$

A condição define o circulo de centro $\left( { – 1, – \frac{1}{2}} \right)$ e raio ${\frac{1}{2}}$, com exceção do ponto $\left( { – 1,0} \right)$.