Determine o menor valor inteiro positivo $k$ para o qual ${\left( {\sqrt 3 – i} \right)^k}$ representa um número real positivo

Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 59

by AMMA · Published 22 de Maio de 2012 · Updated 14 de Janeiro de 2022

Enunciado

Determine o menor valor inteiro positivo $k$ para o qual ${\left( {\sqrt 3 – i} \right)^k}$ representa um número real positivo.

Resolução

Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {\sqrt 3 – i} \right)}^k}}& = &{{{\left[ {2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i} \right)} \right]}^k}} \\
{}& = &{{{\left[ {2\operatorname{cis} \left( {\frac{{11\pi }}{6}} \right)} \right]}^k}} \\
{}& = &{{2^k}\operatorname{cis} \left( {\frac{{11k\pi }}{6}} \right)}
\end{array}$$

Para que ${{{\left( {\sqrt 3 – i} \right)}^k}}$ represente um número real positivo, terá de ser:

$$\frac{{11k\pi }}{6} = 2p\pi ,p \in \mathbb{Z}$$

ou seja, $$k = \frac{{12p}}{{11}},p \in \mathbb{Z}$$

Portanto, o menor número inteiro positivo que satisfaz a condição é $k = 12$, obtido com $p = 11$.