Uma raiz cúbica de um número complexo
Números complexos: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 143 Ex. 58
Enunciado
${w_1} = \frac{{ – 1 + \sqrt 3 i}}{2}$ é uma raiz cúbica de um número complexo $z$.
- Determine as outras raízes cúbicas de $z$.
- Determine $z$.
Resolução
- Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{{w_1}}& = &{\frac{{ – 1 + \sqrt 3 i}}{2}} \\
{}& = &{\operatorname{cis} \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}
\end{array}$$
As três raízes cúbicas possuem igual módulo e os seus argumentos estão em progressão aritmética de razão $\frac{{2\pi }}{3}$.
Logo, as outras duas raízes cúbicas são:
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{{w_2}}& = &{\operatorname{cis} \left( {\frac{{2\pi }}{3} + \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \\
{}& = &{\operatorname{cis} \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right)} \\
{}& = &{\frac{{ – 1 – \sqrt 3 i}}{2}}
\end{array}$$ e $$\begin{array}{*{20}{l}}
{{w_3}}& = &{\operatorname{cis} \left( {\frac{{4\pi }}{3} + \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \\
{}& = &{\operatorname{cis} \left( 0 \right)} \\
{}& = &1
\end{array}$$
- Ora, $z = {\left( {{w_1}} \right)^3} = {\left( {{w_2}} \right)^3} = {\left( {{w_2}} \right)^3} = 1$.
As três raízes cúbicas de $z = 1$.
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