A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

Yearly Archive: 2014

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Aplicando / 11.º Ano / Derivadas

Uma escultura em cimento

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 89 Ex. 5

Enunciado

Na figura, está representado um projeto de uma escultura em cimento para o jardim de uma escola, constituída por uma esfera colocada sobre um cubo.

Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de $2$ metros.

Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações do projeto.

Designemos por $x$ o raio da esfera (em metros).

  1. Indique, na forma de intervalo de números reais, o conjunto dos valores que a variável $x$ pode assumir.
  2. Mostre
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Aplicando / 11.º Ano / Derivadas

Uma colónia de bactérias

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 89 Ex. 4

Enunciado

A população inicial de uma colónia de bactérias é $100 000$ unidades.

Depois de $t$ horas, a colónia tem uma população $P\left( t \right)$, que obedece à lei polinomial seguinte:

\[P\left( t \right) = 10000\,{t^3}\]

  1. Qual é o número de bactérias após $10$ horas?
  2. Encontre a lei que indica a taxa de variação da população $P\left( t \right)$ em relação ao tempo $t$.
  3. Determine essa taxa de variação após $10$ horas.

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Aplicando / 11.º Ano / Derivadas

Uma partícula move-se sobre uma reta

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 88 Ex. 2

Enunciado

Uma partícula move-se sobre uma reta de forma que, após $t$ segundos, ela encontra-se a $s\left( t \right) = 2{t^2} + 3t$ metros da sua posição inicial.

  1. Determine a posição da partícula após $2$ s.
  2. Determine a posição da partícula após $3$ s.
  3. Calcule a velocidade média da partícula no intervalo de tempo $\left[ {2,3} \right]$ (em segundos).
  4. Calcule a velocidade instantânea em $t = 2$ s.

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Aplicando / 11.º Ano / Derivadas

Duas regras de derivação

Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 73 Ex. 2

Enunciado

Determine regras de derivação que permitam calcular facilmente derivadas de funções do tipo:

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = \frac{k}{{x – a}}}&{}&{}&{g\left( x \right) = \frac{k}{{{x^2}}}}
\end{array}\]

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Aplicando / 11.º Ano / Operações com funções

Mostre que as funções são iguais

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 139 Ex. 14

Enunciado

Mostre que as funções seguintes são iguais.

\[\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{array}{*{20}{c}}
{f:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3,3} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{{x – 3}}{{{x^2} – 9}}}
\end{array}}&{}&{\text{e}}&{}&{\begin{array}{*{20}{c}}
{g:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3,3} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{1}{{x + 3}}}
\end{array}}
\end{array}\]

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Funções definidas por ramos / Operações com funções / Aplicando / 11.º Ano

As funções de Heaviside e rampa

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 139 Ex. 12

Enunciado

 As funções de Heaviside e rampa são definidas, respetivamente, por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{H\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
0& \Leftarrow &{x < 0} \\
{\frac{1}{2}}& \Leftarrow &{x = 0} \\
1& \Leftarrow &{x > 0}
\end{array}} \right.}&{\text{e}}&{R\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
0& \Leftarrow &{x \leqslant 0} \\
x& \Leftarrow &{x > 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]

Mostre que:

  1. $R\left( x \right) = x\,H\left( x \right)$
  2. $R\left( x \right) = \frac{{x + \left| x \right|}}{2}$
  3. $\left( {R \circ R}
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Aplicando / 11.º Ano / Função composta

Considere as funções $f$ e $g$

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 138 Ex. 10

Enunciado

Considere as funções $f$ e $g$ definidas por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = \frac{2}{{x – 1}}}&{\text{e}}&{g\left( x \right) = \frac{1}{{x + 3}}}
\end{array}\]

  1. Determine o domínio de cada uma delas.
  2. Caracterize as funções $f \circ g$, $g \circ f$ e $f \circ f$.

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Funções definidas por ramos / Aplicando / 11.º Ano

A função de Heaviside

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 138 Ex. 9

Enunciado

A função de Heaviside, muito usada na Física e na Engenharia, é definida por: \[H\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
0& \Leftarrow &{x < 0} \\
{\frac{1}{2}}& \Leftarrow &{x = 0} \\
1& \Leftarrow &{x > 0}
\end{array}} \right.\]

  1. Esboce o gráfico da função.
  2. Usando o gráfico obtido, esboce o gráfico das seguintes funções:

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = H\left( x \right) – 2}&{}&{g\left( x \right) = H\left( {x + 2} \right)}&{}&{r\left( x \right) =  – … Ler mais

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11.º Ano / Operações com funções / Função composta / Aplicando

Caracterize as funções

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 138 Ex. 8

Enunciado

Considere as funções definidas por:

 \[\begin{array}{*{20}{l}}
{\begin{array}{*{20}{l}}
{f:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{1}{{{x^2}}}}
\end{array}}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{g:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to x + 1}
\end{array}}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
{h:}&{\mathbb{R}\backslash \left\{ {0,1} \right\} \to \mathbb{R}} \\
{}&{x \to \frac{1}{{{x^2} – x}}}
\end{array}}
\end{array}\]

Caracterize as funções seguintes:

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{f + g}&{}&{f \times g}&{}&{\frac{f}{g}}&{}&{h – g}&{}&{\frac{f}{h}}&{}&{f \circ g}&{}&{g \circ f}
\end{array}\]

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Aplicando / 11.º Ano / Função composta

Dadas as funções $f$ e $g$

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 137 Ex. 7

Enunciado

Dadas as funções $f$ e $g$ definidas por: \[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = 2x + 3}&{\text{e}}&{g\left( x \right) =  – {x^2} + 5}
\end{array}\] determine:

  1. $\left( {f \circ f} \right)\left( 1 \right)$
  2. $\left( {g \circ g} \right)\left( 2 \right)$
  3. $\left( {f \circ g} \right)\left( 2 \right)$
  4. $\left( {g \circ f} \right)\left( 2 \right)$

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Aplicando / 11.º Ano / Funções definidas por ramos

O Triatlo do Homem de Ferro

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 137 Ex. 6

Enunciado

O Triatlo do Homem de Ferro é uma prova que é constituída por três partes: um percurso de natação com $3,9$ km, seguido de um percurso de ciclismo com $180$ km e, por fim, uma maratona atlética de $42$ km.

Suponha que um participante nada a uma velocidade constante de $3$ km/h, anda de bicicleta a uma velocidade constante de $32$ km/h e, por fim, corre a uma velocidade constante de $14$ km/h.

Supondo que não se … Ler mais

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Aplicando / 11.º Ano / Funções definidas por ramos

Gráfico de $f$

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 137 Ex. 5

Enunciado

Considere a função $f$, cuja representação gráfica se apresenta na figura ao lado.

  1. Encontre uma expressão que permita definir a função $f$.
  2. Determine, algebricamente, a função definida por $g\left( x \right) = f\left( {x + 2} \right) + 1$. Esboce o gráfico de $g$.
  3. Transforme o gráfico de $f$, de forma a obter o gráfico da função definida por $h\left( x \right) =  – f\left( x \right) + 1$.
  4. A partir do gráfico, determine uma expressão que
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Aplicando / 11.º Ano / Funções definidas por ramos

Considere a função cujo gráfico está representado na figura

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 136 Ex. 3

Enunciado

Considere a função $f$, de domínio $\left] { – \infty , – 1} \right[ \cup \left[ {1, + \infty } \right[$, cujo gráfico está representado na figura.

Determine um expressão que defina a função.

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Aplicando / 11.º Ano / Função composta

Determine $\left( {f \circ g} \right)\left( 2 \right)$

Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 131 Ex. 14

Enunciado

Seja $f$ a função cujo gráfico está representado ao lado.

Seja $g$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por: $g\left( x \right) =  – 2x + 1$.

Determine $\left( {f \circ g} \right)\left( 2 \right)$.

ERRATA: Na figura, no eixo $Ox$ onde se lê “1” deve ler-se “2”.

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