O Triatlo do Homem de Ferro
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 137 Ex. 6
Gordon Haller venceu a primeira competição do Homem de Ferro em 1978
O Triatlo do Homem de Ferro é uma prova que é constituída por três partes: um percurso de natação com $3,9$ km, seguido de um percurso de ciclismo com $180$ km e, por fim, uma maratona atlética de $42$ km.
Suponha que um participante nada a uma velocidade constante de $3$ km/h, anda de bicicleta a uma velocidade constante de $32$ km/h e, por fim, corre a uma velocidade constante de $14$ km/h.
Supondo que não se perde tempo algum na transição de uma fase para outra, encontre uma fórmula que nos indique a distância percorrida por esse atleta desde o início da corrida, em função do tempo. Esboce o gráfico da função encontrada.
Comecemos por considerar separadamente cada uma das partes da prova.
Na primeira parte da prova, a distância percorrida (em km) em função do tempo de prova é dada por ${e_1}\left( t \right) = 3t$, com $t \in \left[ {0,{t_1}} \right]$ e ${t_1} = \frac{{3,9}}{3} = 1,3$ h.
Na segunda parte da prova, a distância percorrida (em km) em função do tempo de prova é dada por ${e_2}\left( t \right) = 32t$, com $t \in \left[ {0,{t_2}} \right]$ e ${t_2} = \frac{{180}}{{32}} = 5,625$ h.
Na terceira parte da prova, a distância percorrida (em km) em função do tempo de prova é dada por ${e_3}\left( t \right) = 14t$, com $t \in \left[ {0,{t_3}} \right]$ e ${t_3} = \frac{{42}}{{14}} = 3$ h.
Estas funções estão representadas graficamente abaixo.
Ora, a representação gráfica da função que indica a distância percorrida por esse atleta desde o início da corrida, em função do tempo, supondo que não se perde algum tempo na transição de uma fase para a seguinte, é a linha $\left[ {OAC’C”} \right]$, onde:
- $\left[ {AC’} \right]$ é a translação de $\left[ {OC} \right]$ segundo o vetor $\overrightarrow u = \overrightarrow {OA} = \left( {{t_1},{e_1}} \right) = \left( {1,3;3,9} \right)$:
- $\left[ {C’C”} \right]$ é a translação de $\left[ {OB} \right]$ segundo o vetor $\overrightarrow v = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \left( {{t_1} + {t_2},{e_1} + {e_2}} \right) = \left( {6,925;183,9} \right)$.
Portanto, a função pedida pode ser definida por:\[\begin{array}{*{20}{l}}
{d\left( t \right)}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{3t}& \Leftarrow &{0 \leqslant t < {t_1}} \\
{32\left( {t – {t_1}} \right) + {e_1}}& \Leftarrow &{0 \leqslant t – {t_1} < {t_2}} \\
{14\left( {t – {t_1} – {t_2}} \right) + {e_1} + {e_2}}& \Leftarrow &{0 \leqslant t – {t_1} – {t_2} \leqslant {t_3}}
\end{array}} \right.} \\
{}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{3t}& \Leftarrow &{0 \leqslant t < 1,3} \\
{32\left( {t – 1,3} \right) + 3,9}& \Leftarrow &{0 \leqslant t – 1,3 < 5,625} \\
{14\left( {t – 1,3 – 5,625} \right) + 3,9 + 180}& \Leftarrow &{0 \leqslant t – 1,3 – 5,625 \leqslant 3}
\end{array}} \right.} \\
{}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{3t}& \Leftarrow &{0 \leqslant t < 1,3} \\
{32t – 37,7}& \Leftarrow &{1,3 \leqslant t < 6,925} \\
{14t + 86,95}& \Leftarrow &{6,925 \leqslant t \leqslant 9,925}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]
Gráfico da função $d$
