Uma colónia de bactérias
Derivadas: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 89 Ex. 4
Enunciado
A população inicial de uma colónia de bactérias é $100 000$ unidades.
Depois de $t$ horas, a colónia tem uma população $P\left( t \right)$, que obedece à lei polinomial seguinte:
\[P\left( t \right) = 10000\,{t^3}\]
- Qual é o número de bactérias após $10$ horas?
- Encontre a lei que indica a taxa de variação da população $P\left( t \right)$ em relação ao tempo $t$.
- Determine essa taxa de variação após $10$ horas.
Resolução
- É $P\left( {10} \right) = 10000 \times {10^3} = {10^7}$ o número de bactérias após $10$ horas.
- Seja ${t_0} \in \mathbb{R}_0^ + $.
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{P’\left( {{t_0}} \right)}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{P\left( {{t_0} + h} \right) – P\left( {{t_0}} \right)}}{h}} \\
{}& = &{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{10000\,{{\left( {{t_0} + h} \right)}^3} – 10000\,{t_0}^3}}{h}} \\
{}& = &{10000 \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\,\left( {{t_0}^2 + 2{t_0}h + {h^2}} \right)\left( {{t_0} + h} \right) – \,{t_0}^3}}{h}} \\
{}& = &{10000 \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\,{t_0}^3 + {t_0}^2h + 2{t_0}^2h + 2{t_0}{h^2} + {h^2}{t_0} + {h^3} – \,{t_0}^3}}{h}} \\
{}& = &{10000 \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{3{t_0}^2h + 3{t_0}{h^2} + {h^3}}}{h}} \\
{}& = &{10000 \times \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left( {3{t_0}^2 + 3{t_0}h + {h^3}} \right)} \\
{}& = &{10000 \times 3{t_0}^2} \\
{}& = &{30000 \times {t_0}^2}
\end{array}\]
Portanto, $P\left( t \right) = 30000 \times {t^2}$, com $t \in \mathbb{R}_0^ + $.
- Após $10$ horas, a taxa de variação é $P\left( {10} \right) = 30000 \times {10^2} = 3 \times {10^6}$ bactérias por hora.
