Considere a função cujo gráfico está representado na figura

O troço da esquerda é um arco de parábola, a qual pode ser definida por $y = a\left( {x + \frac{7}{4}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)$, pois $ – \frac{7}{4}$ é um zero da função.

Como os pontos de coordenadas $\left( { – 2, – 1} \right)$ e $\left( { – 1,2} \right)$ pertencem à parábola, vem:

 \[\begin{array}{*{20}{l}}
  {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  { – 1 = a\left( { – 2 + \frac{7}{4}} \right)\left( { – 2 – {x_2}} \right)} \\
  {2 = a\left( { – 1 + \frac{7}{4}} \right)\left( { – 1 – {x_2}} \right)}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  { – 1 =  – \frac{1}{4}a\left( { – 2 – {x_2}} \right)} \\
  {2 = \frac{3}{4}a\left( { – 1 – {x_2}} \right)}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
  {\left( { – 1 \times } \right)} \\
  {}
\end{array}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  { – 2a – a{x_2} = 4} \\
  { – a – a{x_2} = \frac{8}{3}}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow  \\
  {}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {a =  – \frac{4}{3}} \\
  {\frac{4}{3} + \frac{4}{3}{x_2} = \frac{8}{3}}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {a =  – \frac{4}{3}} \\
  {{x_2} = 1}
\end{array}} \right.}&{}
\end{array}\]
 

Logo, a parábola pode ser definida por:

\[\begin{array}{*{20}{l}}
  y& = &{ – \frac{4}{3}\left( {x + \frac{7}{4}} \right)\left( {x – 1} \right)} \\
  {}& = &{ – \frac{4}{3}\left( {{x^2} + \frac{3}{4}x – \frac{7}{4}} \right)} \\
  {}& = &{ – \frac{4}{3}{x^2} – x + \frac{7}{3}}
\end{array}\]
 

As retas que contêm os troços central e da direita têm, respetivamente, as seguintes equações reduzidas: $y = 2x$ e $y =  – x + 5$.

Assim, temos:

\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  { – \frac{4}{3}{x^2} – x + \frac{7}{3}}& \Leftarrow &{x <  – 1} \\
  {2x}& \Leftarrow &{1 \leqslant x < 3} \\
  { – x + 5}& \Leftarrow &{x \geqslant 3}
\end{array}} \right.\]