Considere a função cujo gráfico está representado na figura
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 136 Ex. 3
Considere a função $f$, de domínio $\left] { – \infty , – 1} \right[ \cup \left[ {1, + \infty } \right[$, cujo gráfico está representado na figura.
Determine um expressão que defina a função.
O troço da esquerda é um arco de parábola, a qual pode ser definida por $y = a\left( {x + \frac{7}{4}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)$, pois $ – \frac{7}{4}$ é um zero da função.
Como os pontos de coordenadas $\left( { – 2, – 1} \right)$ e $\left( { – 1,2} \right)$ pertencem à parábola, vem:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 1 = a\left( { – 2 + \frac{7}{4}} \right)\left( { – 2 – {x_2}} \right)} \\
{2 = a\left( { – 1 + \frac{7}{4}} \right)\left( { – 1 – {x_2}} \right)}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 1 = – \frac{1}{4}a\left( { – 2 – {x_2}} \right)} \\
{2 = \frac{3}{4}a\left( { – 1 – {x_2}} \right)}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( { – 1 \times } \right)} \\
{}
\end{array}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 2a – a{x_2} = 4} \\
{ – a – a{x_2} = \frac{8}{3}}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow \\
{}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – \frac{4}{3}} \\
{\frac{4}{3} + \frac{4}{3}{x_2} = \frac{8}{3}}
\end{array}} \right.}& \Leftrightarrow &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – \frac{4}{3}} \\
{{x_2} = 1}
\end{array}} \right.}&{}
\end{array}\]
Logo, a parábola pode ser definida por:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
y& = &{ – \frac{4}{3}\left( {x + \frac{7}{4}} \right)\left( {x – 1} \right)} \\
{}& = &{ – \frac{4}{3}\left( {{x^2} + \frac{3}{4}x – \frac{7}{4}} \right)} \\
{}& = &{ – \frac{4}{3}{x^2} – x + \frac{7}{3}}
\end{array}\]
As retas que contêm os troços central e da direita têm, respetivamente, as seguintes equações reduzidas: $y = 2x$ e $y = – x + 5$.
Assim, temos:
\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – \frac{4}{3}{x^2} – x + \frac{7}{3}}& \Leftarrow &{x < – 1} \\
{2x}& \Leftarrow &{1 \leqslant x < 3} \\
{ – x + 5}& \Leftarrow &{x \geqslant 3}
\end{array}} \right.\]