Gráfico de $f$
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 137 Ex. 5
Considere a função $f$, cuja representação gráfica se apresenta na figura ao lado.
- Encontre uma expressão que permita definir a função $f$.
- Determine, algebricamente, a função definida por $g\left( x \right) = f\left( {x + 2} \right) + 1$. Esboce o gráfico de $g$.
- Transforme o gráfico de $f$, de forma a obter o gráfico da função definida por $h\left( x \right) = – f\left( x \right) + 1$.
- A partir do gráfico, determine uma expressão que possa definir a função $h$. Verifique se essa expressão satisfaz a igualdade $h\left( x \right) = – f\left( x \right) + 1$.
O declive da reta AB é ${m_{AB}} = \frac{5}{4}$, pelo que a sua equação reduzida é da forma $y = \frac{5}{4}x + b$. Dado que o ponto B pertence a esta reta, vem: $2 = \frac{5}{4} \times \left( { – 4} \right) + b \Leftrightarrow b = 7$. Logo, $AB:y = \frac{5}{4}x + 7$.
O declive da reta BC é ${m_{BC}} = – \frac{6}{4} = – \frac{3}{2}$ e a ordenada na origem é ${b_{BC}} = – 4$. Logo, $BC:y = – \frac{3}{2}x – 4$.
O declive da reta CD é ${m_{CD}} = \frac{{12}}{3} = 4$ e a ordenada na origem é ${b_{CD}} = – 4$. Logo, $CD:y = 4x – 4$.
O declive da reta DE é ${m_{DE}} = – \frac{8}{4} = – 2$, pelo que a sua equação reduzida é da forma $y = \frac{5}{4}x + b$. Dado que o ponto E pertence a esta reta, vem: $0 = – 2 \times 7 + b \Leftrightarrow b = 14$. Logo, $DE:y = – 2x + 14$.
Assim, a função $f$ pode ser definida por:
\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{5}{4}x + 7}& \Leftarrow &{x \leqslant – 4} \\
{ – \frac{3}{2}x – 4}& \Leftarrow &{ – 4 < x \leqslant 0} \\
{4x – 4}& \Leftarrow &{0 < x \leqslant 3} \\
{ – 2x + 14}& \Leftarrow &{x > 3}
\end{array}} \right.\]
- Ora, tem-se:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{g\left( x \right) = f\left( {x + 2} \right) + 1}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{5}{4}\left( {x + 2} \right) + 7 + 1}& \Leftarrow &{x + 2 \leqslant – 4} \\
{ – \frac{3}{2}\left( {x + 2} \right) – 4 + 1}& \Leftarrow &{ – 4 < x + 2 \leqslant 0} \\
{4\left( {x + 2} \right) – 4 + 1}& \Leftarrow &{0 < x + 2 \leqslant 3} \\
{ – 2\left( {x + 2} \right) + 14 + 1}& \Leftarrow &{x + 2 > 3}
\end{array}} \right.} \\
{}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{5}{4}x + \frac{{21}}{2}}& \Leftarrow &{x \leqslant – 6} \\
{ – \frac{3}{2}x – 6}& \Leftarrow &{ – 6 < x \leqslant – 2} \\
{4x + 5}& \Leftarrow &{ – 2 < x \leqslant 1} \\
{ – 2x + 11}& \Leftarrow &{x > 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]
O gráfico de $g$ pode obter-se a partir do gráfico de $f$ por translação associada ao vetor $\overrightarrow u = \left( { – 2,1} \right)$.
- O gráfico de $h$ pode ser obtido por reflexão do gráfico de $f$ em relação ao eixo $Ox$, seguida de translação associada ao vetor $\overrightarrow v = \left( {0,1} \right)$.
- Por leitura do gráfico de $h$, temos:
\[h\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – \frac{5}{4}x – 6}& \Leftarrow &{x \leqslant – 4} \\
{\frac{3}{2}x + 5}& \Leftarrow &{ – 4 < x \leqslant 0} \\
{ – 4x + 5}& \Leftarrow &{0 < x \leqslant 3} \\
{2x – 13}& \Leftarrow &{x > 3}
\end{array}} \right.\]Por outro lado, vem:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{h\left( x \right) = – f\left( x \right) + 1}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – \left( {\frac{5}{4}\left( {x – 0} \right) + 7} \right) + 1}& \Leftarrow &{x – 0 \leqslant – 4} \\
{ – \left( { – \frac{3}{2}\left( {x – 0} \right) – 4} \right) + 1}& \Leftarrow &{ – 4 < x – 0 \leqslant 0} \\
{ – \left( {4\left( {x – 0} \right) – 4} \right) + 1}& \Leftarrow &{0 < x – 0 \leqslant 3} \\
{ – \left( { – 2\left( {x – 0} \right) + 14} \right) + 1}& \Leftarrow &{x – 0 > 3}
\end{array}} \right.} \\
{}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – \frac{5}{4}x – 6}& \Leftarrow &{x \leqslant – 4} \\
{\frac{3}{2}x + 5}& \Leftarrow &{ – 4 < x \leqslant 0} \\
{ – 4x + 5}& \Leftarrow &{0 < x \leqslant 3} \\
{2x – 13}& \Leftarrow &{x > 3}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]
