A função de Heaviside
Mais funções: Aleph 11 - Volume 2 Pág. 138 Ex. 9
Oliver Heaviside (Londres, 18 de maio de 1850 — Torquay, 3 de fevereiro de 1925) foi um matemático inglês.
A função de Heaviside, muito usada na Física e na Engenharia, é definida por: \[H\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
0& \Leftarrow &{x < 0} \\
{\frac{1}{2}}& \Leftarrow &{x = 0} \\
1& \Leftarrow &{x > 0}
\end{array}} \right.\]
- Esboce o gráfico da função.
- Usando o gráfico obtido, esboce o gráfico das seguintes funções:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = H\left( x \right) – 2}&{}&{g\left( x \right) = H\left( {x + 2} \right)}&{}&{r\left( x \right) = – 3H\left( { – x} \right) + 4}
\end{array}\]
\[H\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
0& \Leftarrow &{x < 0} \\
{\frac{1}{2}}& \Leftarrow &{x = 0} \\
1& \Leftarrow &{x > 0}
\end{array}} \right.\]
- A função de Heaviside encontra-se representada abaixo.
- O gráfico da função ${f\left( x \right) = H\left( x \right) – 2}$ pode ser obtido a partir do gráfico da função $H$ por translação associada ao vetor $\overrightarrow u = \left( {0, – 2} \right)$.
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = H\left( x \right) – 2 = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{0 – 2}& \Leftarrow &{x < 0} \\
{\frac{1}{2} – 2}& \Leftarrow &{x = 0} \\
{1 – 2}& \Leftarrow &{x > 0}
\end{array}} \right.}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 2}& \Leftarrow &{x < 0} \\
{ – \frac{3}{2}}& \Leftarrow &{x = 0} \\
{ – 1}& \Leftarrow &{x > 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]O gráfico da função ${g\left( x \right) = H\left( {x + 2} \right)}$ pode ser obtido a partir do gráfico da função $H$ por translação associada ao vetor $\overrightarrow v = \left( { – 2,0} \right)$.
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{g\left( x \right) = H\left( {x + 2} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
0& \Leftarrow &{x + 2 < 0} \\
{\frac{1}{2}}& \Leftarrow &{x + 2 = 0} \\
1& \Leftarrow &{x + 2 > 0}
\end{array}} \right.}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
0& \Leftarrow &{x < – 2} \\
{\frac{1}{2}}& \Leftarrow &{x = – 2} \\
1& \Leftarrow &{x > – 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]O gráfico da função ${r\left( x \right) = – 3H\left( { – x} \right) + 4}$ pode ser obtido a partir do gráfico da função $H$ pela seguinte sequência de transformações:
- dilação vertical do gráfico de $H$ pelo fator $3$;
- simetria do gráfico obtido relativamente ao eixo $Ox$;
- simetria do gráfico obtido relativamente ao eixo $Oy$;
- translação do gráfico obtido associada ao vetor $\overrightarrow w = \left( {0,4} \right)$.
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{r\left( x \right) = – 3H\left( { – x} \right) + 4 = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 3 \times \left( 0 \right) + 4}& \Leftarrow &{ – x < 0} \\
{ – 3 \times \left( {\frac{1}{2}} \right) + 4}& \Leftarrow &{ – x = 0} \\
{ – 3 \times \left( 1 \right) + 4}& \Leftarrow &{ – x > 0}
\end{array}} \right.}& = &{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
4& \Leftarrow &{x > 0} \\
{\frac{5}{2}}& \Leftarrow &{x = 0} \\
1& \Leftarrow &{x < 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}\]
